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Lexikon der Mathematik: Wurzel einer komplexen Zahl

eine zu einer komplexen Zahl a stets existierende Lösung der Gleichung zn = a, wobei n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Ist a ≠ 0, so gibt es genau n verschiedene Wurzeln z0, …, zn−1 ∈ ℂ. Schreibt man a in Polarkoordinaten a = reiϕ mit r = |a| und ϕ ∈ [0, 2π), so gilt für k = 0, …, n − 1 \begin{eqnarray}{z}_{k}=\sqrt[n]{r}{e}^{i(\phi +2k\pi)/n}.\end{eqnarray}

Ist a = α+ mit α, β ∈ ℝ, so erhält man die beiden Quadratwurzeln ±z (d. h. n = 2) von a durch die Formel \begin{eqnarray}z=\sqrt{\frac{1}{2}(|a|+\alpha)}+i\eta (\beta)\sqrt{\frac{1}{2}(|a|-\alpha)},\end{eqnarray}

wobei η(β) = 1, falls β ≥ 0, und η(β) = −1, falls β < 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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