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Lexikon der Mathematik: Zufallsvariable

wichtiger Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Es sei (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(({\Omega }^{^{\prime} },{{\mathfrak{A}}}^{\prime})\) ein meßbarer Raum. Dann heißt jede \({\mathfrak{A}}\text{-}{{\mathfrak{A}}}^{\prime}\)-meßbare Abbildung X : Ω → Ω′ eine Zufallsvariable (mit Werten in Ω′). Eine Zufallsvariable X besitzt also die Eigenschaft, daß für jede Menge \({A}^{\prime}\in {{\mathfrak{A}}}^{\prime}\) das Urbild X−1(A′) ein Element von \({\mathfrak{A}}\) ist. Im Falle Ω′ = ℝ und \({{\mathfrak{A}}}^{\prime}={\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) heißt X eine reelle Zufallsvariable oder Zufallsgröße. Gilt Ω′ = ℝd und \({{\mathfrak{A}}}^{\prime}={\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) mit d > 1, so nennt man X einen zufälligen Vektor oder Zufallsvektor (mit Werten in ℝd). Dabei bezeichnen \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) und \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) die Borelschen σ-Algebren von ℝ bzw. ℝd. Für ω ∈ Ω heißt der Wert x = X(ω) eine Realisierung der Zufallsvariable X. Zufallsvariablen werden in der Regel mit Großbuchstaben und ihre Realisierungen mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

Zufallsvariablen werden zur Beschreibung interessierender Aspekte bei einem zufälligen Vorgang verwendet. Wird beispielsweise bei einer zufällig ausgewählten Person die Körpergröße gemessen, so stellt der gemessene Wert eine Realisierung x der Zufallsgröße Xdar, welche für jede Person die Körpergröße angibt. Andere Beispiele sind die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils oder die Anzahl der Ausschußteile in einer Zufallsstichprobe aus der Tagesproduktion eines Unternehmens.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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