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Mönche, Kleckse und gemeinsame Information

Ich sehe was, was du nicht siehst, und umgekehrt. Da erzählt uns jemand was, was jeder sieht – und auf einmal ist alles ganz anders.


Die außerordentlich höflichen Mönche des Perplexianer-Ordens foppen einander gern mit logischen Tricks. Eines Nachts, als die Brüder Archibald und Benedikt in tiefem Schlaf liegen, schleicht Bruder Jonas in ihre Zelle und malt jedem einen blauen Farbklecks auf den geschorenen Kopf. Beim Aufwachen bemerkt jeder den Klecks auf dem Kopf des anderen, sagt aus Höflichkeit nichts, überlegt sich im stillen, ob er vielleicht auch einen Klecks trage, fragt aber – abermals aus Höflichkeit – nicht nach. Da kommt Bruder Zeno, der nie richtig gelernt hat, taktvoll zu sein, in die Zelle und fängt an zu kichern. Gefragt, warum, gibt er Auskunft: "Wenigstens einer von euch hat einen blauen Klecks auf dem Kopf."

Das wissen die beiden Mönche natürlich schon. Aber dann denkt Archibald nach: "Ich weiß, daß Benedikt einen Klecks hat, aber das weiß er nicht. Habe ich einen Klecks? Angenommen, ich habe keinen. Dann sieht Benedikt das und muß aus Zenos Bemerkung sofort schließen, daß er selbst einen Klecks hat. Aber er zeigt keine Anzeichen, daß ihm das peinlich sei – oh je, das heißt, ich habe einen Klecks!" Und er wird rot. Benedikt geht es, im selben Moment und aus dem gleichen Grund, genauso. Ohne Zenos Bemerkung hätte keine dieser Gedankenketten in Gang kommen können, und doch hat Zeno ihnen – anscheinend – nichts erzählt, was sie nicht schon wußten.

Bei genauerem Nachdenken wird klar, daß Zenos Bemerkung – "Wenigstens einer von euch hat einen blauen Klecks auf dem Kopf" – eben doch neue Information liefert. Was genau wissen die Mönche? Archibald weiß, daß Benedikt einen Klecks trägt, und Benedikt weiß dasselbe von Archibald. Zenos Bemerkung leistet mehr, als nur Archibald darüber zu informieren, daß einer von beiden bekleckst ist. Sie sagt Archibald auch, daß Benedikt jetzt weiß, daß jemand einen Klecks trägt.

Dieses Spiel gibt es in vielen Varianten – Kinder mit schmutzigen Gesichtern, Partygäste mit albernen Hüten und einige mehr. Nennen wir sie Rätsel mit gemeinsamer Information, denn es kommt bei ihnen stets auf eine Aussage an, die allen Gruppenmitgliedern bekannt ist. Wesentlich ist nicht der Inhalt der Aussage, sondern daß jeder weiß, daß jeder andere es auch weiß. Sowie das der Fall ist, kann man nämlich darüber nachdenken, wie die anderen darüber denken.

Mit drei statt zwei Mönchen wird das Spiel noch weitaus verwirrender. Archibald, Benedikt und Cornelius schlafen in einer Zelle, und Jonas malt jedem von ihnen einen blauen Klecks auf den Kopf. Wieder bemerkt jeder beim Aufwachen die Kleckse der anderen, sagt aber nichts. Dann läßt Zeno seine Bombe los: "Wenigstens einer von euch hat einen blauen Klecks auf dem Kopf."

Nun fängt Archibald an zu denken: "Angenommen, ich bin unbefleckt. Dann sieht Benedikt einen Klecks auf Cornelius' Kopf, aber keinen auf meinem, und er überlegt sich, ob er selbst einen Klecks hat. Dabei kann er folgendermaßen schließen: ,Wenn ich, Benedikt, keinen Klecks habe, dann sieht Cornelius, daß weder Archibald noch ich einen Klecks tragen, und kann sofort schließen, daß er selbst einen hat. Cornelius hatte reichlich Zeit, diesen Gedanken zu fassen, sieht aber keineswegs peinlich berührt aus. Also muß ich, Benedikt, selbst einen Klecks tragen.' Nun hatte Benedikt auch reichlich Zeit, diesen Schluß zu vollziehen. Aber ihm scheint ebenfalls nichts peinlich zu sein. Daraus folgt, daß ich, Archibald, selbst einen Klecks tragen muß." In diesem Moment wird Archibald ganz rot – und Benedikt und Cornelius ebenfalls, denn sie haben genauso gedacht.

Die gleiche Logik funktioniert auch mit vier, fünf oder mehr Mönchen; allerdings werden die Schlüsse immer verwickelter. Vor allem wird die stillschweigend dahintersteckende Annahme, alle Mönche würden ungefähr gleich schnell denken, zusehends unplausibel bis völlig absurd. Man muß ein geeignetes Mittel einführen, die Gedanken zu synchronisieren.

Angenommen, es gebe 100 Mönche, jeder mit einem Klecks auf dem Kopf, von dem er nichts weiß, und jeder ein außerordentlicher Schnelldenker. Der Abt des Klosters sagt an: "Alle 10 Sekunden werde ich eine Glocke läuten. Sofort danach muß jeder, der folgern kann, daß er einen Klecks trägt, die Hand heben. Mindestens einer von euch trägt einen Klecks auf dem Kopf." Nichts passiert während der ersten 99 Glockenschläge. Aber nach dem hundertsten Schlag heben alle Mönche zugleich die Hand.

Warum? Wenn die Gruppe nur aus einem Mönch besteht, weiß er von vornherein, daß er bekleckst ist, und hebt nach dem ersten Glockenschlag die Hand (Bild unten, links). Bei zwei Mönchen darf zunächst jeder sich ohne Widerspruch zur verfügbaren Information für unbefleckt halten. Also hebt keiner nach dem ersten Schlag die Hand. Aber dann folgert jeder Mönch aus der Reaktion des anderen, daß seine Annahme falsch ist: "Wenn ich wirklich keinen Klecks trüge, hätte mein Bruder die Hand gehoben. Da er das nicht getan hat, muß ich selbst bekleckst sein." Also heben beide nach dem zweiten Glockenschlag die Hand (Bild unten, rechts). Dieses Muster setzt sich fort auf jede beliebige Anzahl von Mönchen.

Das Ganze ist eine Anwendung des Prinzips der vollständigen Induktion: Wenn eine Aussage, die eine unbestimmte natürliche Zahl n enthält, für n=1 gilt und wenn aus der Annahme, daß die Aussage für n gilt, folgt, daß sie auch für n+1 gilt, dann gilt die Aussage für alle n. Wenn in der Gruppe 100 Mönche sind, dann nimmt jeder an, er trage keinen Klecks, und erwartet, daß die anderen 99 Mönche nach dem 99. Glockenschlag die Hand heben. Da das nicht passiert, merkt jeder Mönch, daß seine Annahme falsch war, und hebt nach dem nächsten Glockenschlag seine Hand.

Eine brutale Variante hat Alexander K. Dewdney in der "Computer-Kurzweil", der Vorgängerin dieser Rubrik, im März 1989 vorgestellt. In einem Dorf gibt es zahlreiche untreue Ehemänner. Der Dorfklatsch unter den Frauen funktioniert fast perfekt: Jede erfährt von jedem außerehelichen Abenteuer eines Mannes – solange es nicht der eigene ist. Eines Abends wird aus allwissender Quelle bekanntgegeben, daß es genau 40 Untreue gibt. Die Frauen beschließen, den eigenen Mann in der nächsten Nacht umzubringen, sowie sie wissen, daß er zu den Untreuen zählt. 39 Nächte lang passiert nichts außer den üblichen Seitensprüngen – aber in der 40. Nacht werden sämtliche Ehebrecher von ihren Gattinnen niedergemetzelt!

Ein anderes verwickeltes Puzzle dieser Art haben John H. Conway von der Universität Princeton und Michael S. Paterson von der Universität Warwick in England erfunden. Stellen Sie sich eine Party mit lauter verrückten Mathematikern vor. Jeder Gast trägt einen Hut, auf dem eine Zahl geschrieben steht. Alle Zahlen sind größer oder gleich 0, aber es müssen keine ganzen Zahlen sein. Außerdem ist wenigstens eine Zahl größer als 0. Kein Gast kann seine eigene Zahl sehen, aber jeder sieht die Zahlen aller anderen Gäste.

Nun die gemeinsame Information. Auf der Tafel an der Wand steht eine Liste von Zahlen, und zwar höchstens so viele, wie Gäste im Raum sind. Eine davon ist die Summe der Zahlen auf allen Hüten. Alle 10 Sekunden erklingt eine Glocke, und jeder, der seine Zahl kennt – oder die richtige Summe aller Zahlen, was auf dasselbe hinausläuft –, muß das bekanntgeben. Conway und Paterson haben bewiesen, daß schließlich einer der Spieler eine solche Ansage machen wird.

Betrachten wir den Fall mit nur zwei Spielern. Auf ihren Hüten stehen die Zahlen x und y und an der Tafel, sagen wir, die Zahlen 6 und 7. Beide Spieler wissen, daß entweder x+y=6 oder x+y=7 sein muß. Nun kommt etwas Geometrie. Die Paare (x,y), die eine dieser beiden Bedingungen erfüllen, liegen auf zwei parallelen Strecken im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems (Bild oben). Wenn x größer als 6 ist, dann beendet der y-Spieler das Spiel nach dem ersten Glockenschlag, weil er sofort sieht, daß die Gesamtsumme 6 unmöglich ist. Aus demselben Grund beendet der x-Spieler das Spiel nach dem ersten Glockenschlag, falls y größer als 6 ist. Wenn nach dem ersten Schlag kein Spieler reagiert, scheiden diese Möglichkeiten aus. Das Spiel endet dann nach dem zweiten Schlag, wenn x oder y kleiner als 1 ist. Warum? Ein Spieler kann einen Hut mit einer Zahl kleiner als 1 sehen, und er weiß seit dem ersten Glockenschlag, daß seine eigene Zahl kleiner oder gleich 6 ist. Also scheidet die Summe 7 aus.

Mit jedem Glockenschlag scheiden gewisse Paare (x,y) aus, und zwar genau diejenigen, die auf einem gewissen Stück der beiden ursprünglichen Parallelen liegen. So werden schnell alle Möglichkeiten ausgeschöpft. Das Spiel muß spätestens nach dem achten Glockenschlag enden, wenn x und y beide gleich 3 sind. Jede andere Kombination erfordert sieben oder weniger Schläge. Ein ähnliches Argument kann man im allgemeinen Fall anbringen, nur ist der Beweis schwieriger.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 10 / 1999, Seite 122
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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