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Antike Gleichung: Altes Rätsel um die 42 gelöst

Einfache Gleichung - schwieriges Problem: Welche drei dritten Potenzen addieren sich zu 42? Die Lösung dieser Aufgabe beendet eine 65 Jahre dauernde Suche.
Drei Rubik-Würfel unterschiedlicher Größe auf weißem Grund.Laden...

Mit Hilfe geballter globaler Rechenkraft haben zwei Mathematiker das Geheimnis der 42 gelüftet – und jene drei Kubikzahlen gefunden, die sich zu dieser wohl berühmtesten zweistelligen Zahl addieren. Damit ist eine Frage geklärt, die die Mathematikwelt seit 65 Jahren beschäftigt: Kann man alle natürlichen Zahlen bis 100 als Summe dreier Kubikzahlen darstellen? Als Gleichung ausgedrückt: x3 + y3 + z3 = n. Diese als eine der diophantischen Gleichungen bekannte Beziehung ist seit der Antike bekannt – doch erst, als Mitte der 1950er Jahre elektronische Rechenmaschinen aufkamen, wurde es realistisch, die Kubikzahl-Summanden beliebiger natürlicher Zahlen zu finden.

Die einfach erscheinende Aufgabe hat nämlich einen kleinen Haken. Anders als die Quadratzahlen können Kubikzahlen auch negativ sein, und damit steigen die Möglichkeiten ins Unermessliche – so ist 20 zwar noch die Summe von 13, (-2)3 und 33, aber für die 30 muss man schon (-283 059 965)3, (-2 218 888 517)3 und 2 220 422 9323 addieren. Dennoch hatten Fachleute und Amateure nach und nach mit Hilfe von Computern und modernen Algorithmen für alle Zahlen bis 100 die entsprechenden drei Kubikzahlen gefunden – mit Ausnahme der 33 und der 42. Diese Zahlen ließen sich mit dem bisherigen, im Jahr 2000 vom Harvard-Mathematiker Noam Elkies entwickelten Verfahren nicht knacken.

2019 schließlich entwickelte der Mathematiker Andrew Booker von der University of Bristol einen neuen Algorithmus. Damit überwältigte er binnen drei Wochen die 33 auf dem universitätseigenen Supercomputer, nicht aber die 42. Um ihr zu Leibe zu rücken, entschied Booker, brauchte er die Rechenleistung eines globalen Netzwerks – und jemandem, der damit umgehen konnte. Er rekrutierte Andrew Sutherland vom MIT, einen Fachmann für massiv parallele Berechnungen, bei denen unzählige Computer gleichzeitig Teilaufgaben des Problems bearbeiten.

Die Computer lieferte die »Charity Engine« – eine Organisation, die freie Rechenleistung von Privatrechnern bündelt und für rechenintensive Projekte vermietet. Doch auch mit über einer halben Million beteiligten Rechnern war der Erfolg keineswegs garantiert, schließlich war es durchaus möglich, dass die Zahlen x, y und z jeweils 50 oder noch mehr Stellen hatten. Insofern ist es tatsächlich Glück, dass der Algorithmus schon nach einer Million Rechenstunden eine Antwort ausgab. Sie lautet:
42 = (-80 538 738 812 075 974)3 + 80 435 758 145 817 5153 + 12 602 123 297 335 6313.

Die nächsten Aufgaben warten allerdings schon. Im Zahlenraum bis 1000 gibt es zehn Zahlen, für die noch keine drei Kubikzahl-Summanden bekannt sind.

37/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 37/2019

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