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Musiktheorie: Melodien multidimensional

Musik kann nicht nur schön klingen - sie sieht auch gut aus. Und obendrein verrät die geometrische Umsetzung von Klängen und Klangfolgen einiges über die Vorlieben westlicher Komponisten. Beispielsweise, dass sie besonders gerne die oberen Teile von Pyramiden verwenden.
Vierklang
Eigentlich ist Klavierspielen ganz einfach – Taste drücken, und es kommt ein Ton. Mit einem allein geben sich Komponisten und Musiker allerdings selten zufrieden, es darf schon mehrstimmig klingen – und das bitte wohl, nicht wehe. Wenn sich dann zum Klavier noch weitere Instrumente gesellen, ist es fast schon ein Wunder, dass die meisten Stücke dennoch angenehm anzuhören sind, obwohl die vielen Stimmen keineswegs zur selben Zeit dieselben Töne spielen.

Zum Glück greifen sie jedoch alle auf das gleiche Repertoire zurück. c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, b, h – mehr Variabilität hat eine gewöhnliche Tonleiter nicht zu bieten. Nach dem h folgt wieder ein c, das allerdings eine Oktave höher liegt. Womit die Töne eine Folge diskreter "Werte" bilden und folglich Objekt der analytischen Begierde von Mathematikern sind.

Akkorde mit zwei Tönen | Im unbegrenzten Raum der musikalischen Objekte bilden die Akkorde mit zwei Tönen ein Möbiusband, das dreimal gedreht ist.
Mit Eifer untersucht die Musiktheorie die Beziehungen von Tönen, die auf einem oder mehreren Instrumenten gleichzeitig oder als Melodie nacheinander erklingen. Fünferlei Ereignisse können dabei von einem dieser musikalischen Objekte zum nächsten vorkommen: Ein einzelner der Töne könnte um eine Oktave verschoben werden, was mit einem großen O für octave shift gekennzeichnet wird. Außerdem könnten die Teile in eine andere Reihenfolge gebracht (P für permutation), alle zusammen auf die gleiche Weise verschoben (T für transposition), die Abstände umgedreht (I für inversion) und/oder das gleiche Objekt dupliziert werden (C für cardinality change). Zusammen gelesen ergeben die Kurzformen dieser Transformationen das sprechende Wort "Optic", in deren Licht sich die Entwicklung eines beliebigen Musikstücks beschreiben lässt.

In Zahlen oder Diagrammen sieht so eine mathematisierte Melodie erwartungsgemäß abstrakt aus und lässt sich allenfalls von wenigen Experten interpretieren. Ein klein wenig anschaulicher – und vor allem viel schöner – wird der Datensatz dann, wenn man ihn geometrisch so darstellt, wie es Dmitri Tymoczko von der Princeton University und seine Kollegen nun getan haben.

Akkorde mit drei Tönen | Dreiklänge bauen bereits eine Pyramide auf. An der Spitze steht der übermäßige Dreiklang (rot), der die zwölf Töne einer Oktave in drei gleich große Stücke teilt. Die Basis bilden Akkorde mit gleichen Tönen (blau). Klassische westliche Musik fühlt sich vor allem im orangenen und gelben Bereich in der Nähe der Pyramidenspitze wohl.
Beispielsweise wiesen sie einem Akkord aus drei Tönen einen Punkt in einem dreidimensionalen Raum zu, indem jede der drei Noten eine Koordinate festlegte. Für alle denkbaren Akkorde ergibt das eine Fülle von Punkten, die sich nach ihren Eigenschaften miteinander zu Klassen verknüpfen lassen, und in denen die Optic-Transformationen visuell sichtbar werden. Eine Transposition etwa wird zu einer Verschiebung, eine Permutation zu einer Spiegelung.

Der Vergleich von geometrisierten Stücken verschiedener Komponisten wie Mozart und Beethoven verrät, dass bei aller Verschiedenheit die Musik trotzdem häufig eine ähnliche Entwicklung durchläuft. Auf Akkord X folgt gerne ein verwandter Akkord Y. Und selbst deren interner Aufbau bewegt sich stets in einem engen Rahmen, der nahe am so genannten "übermäßigen Dreiklang" (beispielsweise c, e und gis) liegt. In der räumlichen Projektion ist dies die Spitze der Pyramide, deren Basis aus gleichartigen Tönen sich westliche Komponisten kaum nähern.

Akkorde mit vier Tönen | Der vierte Ton im Akkord sprengt die Möglichkeiten der anschaulichen Darstellung. Dennoch finden sich auch in solch unvollkommenen reduzierten Projektionen die klassischen Motive nahe beieinander.
Als einfacher Detektor für abgedroschene musikalische Phrasen ist die geometrische Auftragung aber leider nicht zu gebrauchen. Denn mit jedem Objekt, das betrachtet werden soll, kommt eine neue Dimension hinzu, so dass aus Pyramiden schnell Hyperraumobjekte werden, die orbifold heißen und lediglich den Mathematikern unter den Musikliebhabern noch Freude machen. Dennoch könnten Musiktheoretiker mit dem neuen mathematischen Instrument eventuell neue Entdeckungen machen – und ganz vielleicht sogar neue musikalische Instrumente entwickeln, die dann wieder für alle Ohren angenehm klingen.

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  • Quellen
Clifton Callender et al.: Generalized Voice-Leading Spaces. In: Science 320(5874), S. 346–348, 2008

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