Hemmes mathematische Rätsel: Eine elfstellige Duodezimalzahl
Normalerweise benutzen wir zum Schreiben von Zahlen das Dezimalsystem, das die Zehn zur Basis hat und darum auch zehn verschiedene Ziffern besitzt. Aber das muss man keineswegs so machen. Man kann auch andere Zahlensysteme mit anderen Basen benutzen. Das Duodezimalsystem hat die Zwölf zur Basis und zwölf verschiedene Ziffern. Dies sind die zehn Ziffern von 0 bis 9, die auch beim Dezimalsystem benutzt werden, und die beiden zusätzlichen A und B, die die Werte zehn und elf besitzen. Hat eine n-stellige Duodezimalzahl von links nach rechts gelesen die Ziffern Zn-1, Zn-2, …, Z1 und Z0, entspricht sie der Dezimalzahl:
Zn-1 ∙ 12n-1 + Zn-2 ∙ 12n-2 + … + Z1 ∙ 121 + Z0 ∙ 120.
Seit einigen Jahren kursiert im Internet die Frage nach einer elfstelligen Duodezimalzahl, die folgende Bedingungen erfüllen soll:
- Sie enthält jede der Ziffern von 1 bis B genau einmal.
- Ihre erste Ziffer ist kleiner als ihre letzte.
- Die Summe der Ziffern 1 und 2 sowie aller dazwischen liegenden Ziffern beträgt 1212.
- Die Summe der Ziffern 2 und 3 sowie aller dazwischen liegenden Ziffern beträgt 2312.
- Die Summe der Ziffern 3 und 4 sowie aller dazwischen liegenden Ziffern beträgt 3412.
- Die Summe der Ziffern 4 und 5 sowie aller dazwischen liegenden Ziffern beträgt 4512.
- Die Summe der Ziffern 5 und 6 sowie aller dazwischen liegenden Ziffern beträgt 5612.
Dabei bedeutet der Index 12 an den Summen, dass diese im Duodezimalsystem angegeben sind. Wie lautet die elfstellige Duodezimalzahl?
Um leichter rechnen zu können, werden zunächst einmal die sechs Ziffernsummen von Duodezimal- ins Dezimalsystem umgerechnet: 1212 = 14, 2312 = 27, 3412 = 40, 4512 = 53 und 5612 = 66. Die Summe aller zwölf Ziffern von 1 bis B beträgt 66.
Folglich müssen die 5 und die 6 die erste und die letzte Ziffer der gesuchten Zahl sein: 5--------6. Die Summe der Ziffern 4 und 5 und aller Ziffern, die dazwischen stehen, beträgt 53. Die Ziffern, die zwischen der 4 und der 6 stehen, haben somit zusammen einen Wert von 66 − 53 − 6 = 7.
Folglich kann zwischen der 4 und der 6 nur die 7 stehen oder eines der Ziffernpaare 1-6, 2-5 und 3-4 oder das Zifferntripel 1-2-3. Die drei Ziffernpaare scheiden aus, weil in jedem Paar schon eine der Ziffern gesetzt ist und auch das Zifferntripel scheidet aber aus, da die Summe der Ziffern 1 und 2 und aller Ziffern, die dazwischen stehen, 14 betragen muss. Folglich steht zwischen der 4 und der 6 die 7. Dies ergibt 5-------476.
Da die Summe der Ziffern 3 und 4 und aller Ziffern, die dazwischen stehen, 40 beträgt, müssen zwischen der 5 und der 3 Ziffern im Wert von insgesamt 66 − 40 − 5 − 7 − 6 = 8 stehen. Dies kann nur die Ziffer 8 sein oder eines der Ziffernpaare 1-7, 2-6 und 3-5 oder das Zifferntripel 1-3-4. Man kann nun leicht überprüfen, dass nur die einzelne Ziffer 8 möglich ist, was 583-----476 ergibt. Die nächsten Schritte laufen ganz analog und man erhält so die gesuchte Duodezimalzahl 583A1B29476.
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