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Fünf Bäume

Treitz-RätselLaden...

Katja hat einen quadratischen Garten und will 5 Bäume pflanzen, die voneinander den maximalen Abstand haben sollen. Wie groß ist dieser? Kann man zeigen, ob die symmetrische Lösung (mit je einem Baum in den Ecken und einem in der Mitte) wirklich optimal ist?

Für die Freunde maximaler Präzision: Gesucht ist die Anordnung, in der der minimale unter allen Abständen zwischen zwei Bäumen maximal ist.

Teilen Sie das Quadrat in vier Teile.

Natürlich setzt sie in jede Ecke einen Baum und in die Mitte noch einen.

Man möchte schon ziemlich hoch wetten, dass das optimal ist, aber ist das auch sicher?

Zum Beweis denkt man sich das Quadrat in vier Quadrate der halben Kantenlänge zerlegt.Wir ersetzen jeden Baum in Gedanken durch einen mathematischen Punkt mitten in seinem Stamm und zugleich in der Bodenfläche. Sollte er genau auf einer Grenzlinie liegen, so denken wir ihn uns beliebig wenig in eins der Teilquadrate versetzt, der Fehler ist dabei beliebig klein. Nun können wir sagen: In eins dieser 4 Teilquadrate müssen 2 Bäume. In diesem bevorzugten Teilquadrat ist der maximale Abstand der Bäume dessen Diagonale. Das ist aber auch die Entfernung bei der vermuteten Lösung, und wir sind sicher, dass es keine Lösung mit lauter größeren Abständen geben kann.

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  • Quellen
Angela Dunn, Mathematikcal Bafflers, New York 1864, p. 62 & 69, gefunden in Hemme, Frühstück, Nr. 63

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