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Kugeln in und um Würfel und Tetraeder

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Wie verhalten sich die Volumina der In- und Umkugeln und der Kantenberührkugeln von Würfel und regelmäßigem Tetraeder?

Wählen Sie die Kantenlängen von Würfel und Tetraeder so, dass beide eine gemeinsame Umkugel haben.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Die Radien der Umkugel, der Kantenberührkugel und der Inkugel des Würfels sind gleich der halben Raumdiagonalen, der halben Flächendiagonalen und der halben Kantenlänge. Die Volumina dieser Kugeln verhalten sich also wie 33/2 : 23/2 : 1 = 5,196 : 2,828 : 1.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Ein Tetraeder mit der gleichen Umkugel wie der Würfel bekommt man, wenn man vom Würfel jede zweite Ecke nimmt. Die Kanten des Tetraeders sind dann Flächendiagonalen des Würfels, die Inkugel des Würfels ist die Kantenberührkugel des Tetraeders, und dessen Inkugel hat 1/3 des Radius, also 1/27 des Volumens der betrachteten (gemeinsamen) Umkugel, denn die Höhe des regelmäßigen Tetraeders wird vom Mittelpunkt im Verhältnis 1/4 : 3/4 geteilt. Im unregelmäßigen Tetraeder gilt dieses Teilverhältnis immer noch für den Schwerpunkt, der natürlich beim regelmäßigen mit allen betrachteten Kugelmittelpunkten identisch ist.

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