Es ist ja wohl klar, dass es gleichseitig ist. Man kann zum Beweis erst einmal zeigen, dass es gleichschenklig ist.

Wenn man eine Seite festhält, sieht man sofort (wegen Grundseite mal Höhe/2), dass zur Maximierung der Fläche die Spitze mitten darüber sein muss, das Dreieck also gleichschenklig sein soll:

Man lasse nun bei einem gleichseitigen Dreieck (in Warndreieck-Position) die beiden unteren Eckpunkte ein Stück auf dem Kreis nach unten wandern, so dass es gleichschenklig bleibt. Dann werden die beiden Schenkel etwas länger, und die Fläche auml;ndert sich fast gar nicht, denn die beiden Differenzdreiecke sind jeweils genau so lang wie das Differenztrapez und am breiten Ende auch genau so breit (warum?).

Ist das gleichschenklige Dreieck schlanker als das gleichseitige, so sind die (blauen) Dreiecke länger und breiter als das (rote) Trapez, bei einer Änderung in Richtung zum gleichseitigen Dreieck nimmt die Fläche also zu.

Umgekehrt nimmt sie auch zu, wenn man von einem "breiten" gleichschenkligen Dreieck dem gleichseitigen näher kommt:

Damit ist ohne Analysis klar, dass das gleichseitige Dreieck unter alle Sehnendreiecken im gleichen Kreis die maximale Fläche hat.

Eine Variante, die sich auch auf n-Ecke ausdehnen lässt, finden Sie im 3. Kapitel des Rademacher-Toeplitz.