Miquel und Torricelli
Coxeter und Greitzer bringen in ihrem Buch einen Satz, von dem sie schreiben, dass er zu Unrecht wenig bekannt sei:
Setzt man drei Dreiecke \(BDC\), \(CEA\) und \(AFB\) von außen an die Seiten eines beliebigen Dreiecks \(ABC\), so schneiden sich deren Umkreise genau dann in einem Punkt, wenn die Summe der Winkel in den "Zipfeln" (also \( \angle BDC + \angle CEA + \angle AFB \)) gleich 180o ist. Kann man das leicht einsehen? Was gilt in den Spezialfällen, dass a) die drei genannten Winkel gleich sind und b) dass \(FBD\), \(DCE\) und \(EAF\) jeweils auf einer geraden Linie liegen?
Den Umfangswinkelsatz und seine Umkehrung kann man so formulieren:
Ein ebenes Viereck hat genau dann einen Umkreis, wenn sich die Gegenwinkel in ihm paarweise zu 180o ergänzen.
Mit dem Umfangwinkelsatz und seiner Umkehrung in der im Tipp gegebenen Formulierung und diesem Bild ist alles klar. Man sucht sich irgendeinen Punkt im Dreieck und legt durch ihn und jeweils 2 Ecken einen Kreis. Auf den Außenbögen dieser drei Kreise können nun die neuen Ecken der angebauten Dreiecke beliebig wandern.
Wenn die drei fraglichen Winkel gleich sind, müssen sie 60o, sein. Der Schnittpunkt der Kreise sieht dann die Dreiecksseiten sozusagen unter je 120o, das ist Torricellis Lösung für Fermats Problem, den Punkt zu suchen, der von den Ecken \(A\), \(B\) und \(C\) die minimale Abstandssumme hat (falls das Dreieck keinen Winkel hat, der stumpfer als 120o hat). Für drei angebaute Dreiecke mit 60o in der jeweils äußeren (d. h. neu hinzukommenden) Ecke) ist das erfüllt, diese Dreiecke müssen also nicht einmal gleichseitig sein (obwohl dann der Torricelli-Punkt noch einfacher gezeichnet werden kann).
Liegen (zweiter Spezialfall) die Ecken \(A\), \(B\) und \(C\) auf den Seiten des Dreiecks \(DEF\), so haben wir den Satz von Miquel vor uns, der behauptet, dass die Umkreise von \(CBD\), \(AFB\) und \(ACE\) sich in einem Punkt schneiden.
Der von Coxeter und Greitzer angegebene Satz wendet also den Umfangswinkelsatz und seine Umkehrung sehr weit reichend an, ohne unnötig viel vorauszusetzen. Eleganz vom Feinsten!
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