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Primzahlen-Lücken

Treitz-Rätsel

Gibt es beliebig große Lücken zwischen den Primzahlen? – Was heißt das? – Nun, Sie sagen irgendeine große Zahl, und ich sage, wie man eine Primzahl ausrechnen müsste, hinter der eine entsprechend lange Lücke ist.

Gehen Sie von einem Produkt von Primzahlen aus.

Wenn \(n\) die verlangte Länge der Lücke ist, so nennen wir \(p\) das Produkt aller Primzahlen, die nicht größer als \(n + 1\) sind. \(p + 1\) ist entweder prim oder enthält eine Primzahl, die größer als \(n\) ist, als Faktor. \(p + 2\) bis \(p + n + 1\) sind dann \(n\) aufeinander folgende Zahlen, die nicht prim sind, denn \(p\) ist durch alle Zahlen von \(2\) bis \(n + 1\) teilbar, und jede der Zahlen \(p + 2\) bis \(p + n + 1\) durch (mindestens) eine davon.

Statt \(p\) kann man auch \(n!\) nehmen, was aber unnötig große Zahlen liefert. p + 1 muss nicht prim sein, wie das Beispiel \(30031 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot1 3 + 1 = 59\cdot 509\) zeigt, aber auch hier folgen mehr als 13 teilbare Zahlen, wie man in dem Primzahlensieb sieht:

Besonders eindrucksvoll wird die Aufgabe, wenn man eine Lücke der Länge 1000 oder gar 1000000 verlangt und ohne weitere Denkarbeit auch bekommt. Ausrechnen muss man das ja nicht unbedingt.

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  • Quellen
Graham Nr. 25.

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