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Hemmes mathematische Rätsel: Quadrat und Kubus einer Zahl

Können Sie den Kubus der Zahl aus der Aufgabe berechnen, indem Sie die schriftliche Multiplikation im Bild nachvollziehen?
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Im Februar 1961 erschien die erste Ausgabe der Zeitschrift »Recreational Mathematics Magazine«, die sich ausschließlich mit der Unterhaltungsmathematik befasste. Sie wurde von dem amerikanischen Chemiker Joseph S. Madachy herausgegeben. Leider wurde ihr Erscheinen schon drei Jahre später im Februar 1964 wieder eingestellt. In der Zeitschrift wurden Hunderte von Denksportaufgaben und Artikel über mathematische Kuriositäten, Zahlenspielereien, Puzzles, Knobelspiele, ungewöhnliche Schachprobleme, mathematisches Spielzeug und vieles mehr veröffentlicht. Im Februar 1963 stellte der Däne Willy Enggren den Lesern ein Rätsel mit zwei ziffernlosen Multiplikationen.

Jemand möchte den Kubus einer vierstelligen Zahl bestimmen. Dazu multipliziert er schriftlich die Zahl zuerst einmal mit sich selbst und erhält somit ihr Quadrat. Dann multipliziert er die Zahl mit diesem Quadrat. In den Abbildungen ist jede Ziffer der beiden schriftlichen Multiplikationen durch einen bunten Punkt ersetzt worden. Wie lautet die vierstellige Zahl?

Quadrat und Kubus einer Zahl

 

Quadrat und Kubus einer Zahl

Da das Quadrat der Zahl kleiner als 107 ist, kann die Zahl höchstens 3162 sein. Jedes Teilprodukt der Quadratur kommt vor, und nur das letzte ist fünfstellig. Darum kann keine der Ziffern der Zahl eine 0 sein, und ihre Endziffer ist die größte der vier Ziffern.

Wäre die zweite Ziffer größer als 6, könnte die Zahl im kleinsten Fall 1711 sein und das zweite Teilprodukt der Quadratur wäre fünfstellig. Also ist die zweite Ziffer der Zahl höchstens 6.

Da die beiden ersten Teilprodukte der zweiten Multiplikation fünfstellig sind, müssen die erste und zweite Ziffer des Quadrats mindestens 3 sein. Weil mit diesen Einschränkungen bei der Addition der Teilprodukte der Quadratur kein Übertrag von 2 von der zweiten auf die erste Spalte möglich ist, kann die Zahl nicht mit 1 beginnen, sondern somit nur mit 2 oder 3.

Daraus ergibt sich, dass die Anfangsziffer des Quadrats mindestens 4 sein muss. Das vorletzte und auch nur das vorletzte Teilprodukt der zweiten Multiplikation fehlt. Das bedeutet, nur die vorletzte Ziffer des Quadrats ist eine 0. So kann man sich weiter durch die beiden Multiplikationen hangeln und schließlich durch systematischen Probieren als eindeutige Lösung die Zahl 2348 ermitteln.

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