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Rechtwinklige Seitenhalbierende

Treitz-Rätsel

Wie verhält sich die Länge einer Seite \(c\) zu der ihrer Seitenhalbierenden in einem Dreieck, in dem die anderen beiden Seitenhalbierenden zueinander rechtwinklig sind?

Welche Beziehung besteht zwischen den drei Seitenlängen?

Hier gibt es natürlich mehrere rechtwinklige Dreiecke.

Wie war das? Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt, und dieser teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2.

Wegen des Thaleskreises wird das untere rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige geteilt. Das untere Drittel der Seitenhalbierenden zu \(c\) ist also halb so lang wie \(c\) und damit die ganze Seitenhalbierende anderthalb mal so lang wie \(c\) selbst.

Die getönten rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander im Verhältnis –1:2 gestreckt (wegen der Mittelparallele zu \(c\)). Wendet man den pythagoreischen Satz auf alle 4 rechtwinkligen Dreiecke an und addiert einiges, so findet man \[c^2={a^2+b^2 \over 5} \; .\]

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  • Quellen
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry. Dover, 1996; Nr. 3.2

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