Hemmes mathematische Rätsel: Viele Einsen und Dreien
Eugene B. Dynkin wurde 1924 in St. Petersburg geboren. Er ist jüdischer Abstammung, und sein Vater wurde 1935 zum Volksfeind erklärt und in die Verbannung nach Kasachstan geschickt, wo er zwei Jahre später starb. Trotz dieser Vorbelastungen durfte er in Moskau Mathematik studieren. Nach Stalins Tod bekam er sogar eine Professur. Wegen ständiger politischer Probleme und nachdem seine einzige Tochter bereits nach Israel ausgewandert war, emigrierte Dynkin dann 1976 in die USA. 1977 wurde er Mathematikprofessor an der Cornell-Universität. 1965 veröffentlichte Dynkin gemeinsam mit S. A. Molchanov, A. L. Rozental und A. K. Tolpygo ein schmales Büchlein mit Problemen der Unterhaltungsmathematik, das 1969 ins Englische übersetzt wurde und unter dem Titel Mathematical Problems: An Anthology erschien. Aus diesem Büchlein stammt das heutige Rätsel.
Wie lautet die kleinste positive ganze Zahl, deren Ziffern ausschließlich Einsen sind und die ohne Rest durch 33 333 333 333 333 333 teilbar ist?
Nehmen wir einmal an, die Lösung N bestehe aus n Einsen. Da N durch die siebzehnstellige Zahl 33 333 333 333 333 333 teilbar ist, muss N auch durch die beiden Faktoren dieser Zahl, 3 und 11 111 111 111 111 111, teilbar sein. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 ist. Somit muss die Zahl N, die ausschließlich aus Einsen besteht, eine Zahl n von Stellen haben, die durch 3 teilbar ist.
Damit ein Dividend, der nur aus Einsen besteht, durch einen Divisor, der auch nur aus Einsen besteht, teilbar ist, muss die Zahl der Dividend-Einsen ein ganzzahliges Vielfaches der Divisor-Einsen sein. Das sieht man sofort, wenn man die beiden Zahlen schriftlich durcheinander teilt. Für unser Teilbarkeitsproblem bedeutet dies, dass die Stellenzahl ein Vielfaches von 17 sein muss, damit N auch durch die siebzehnstellige Zahl 11 111 111 111 111 111 teilbar ist. Da das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 17 ihr Produkt 51 ist, besteht N aus 51 Einsen.
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