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Hemmes mathematische Rätsel: Wasser und Alkohol

Drei Gläser: Voll, halb voll und leerLaden...

Der Amerikaner Raymond Smullyan wurde 1919 in New York geboren und starb 2017 auch dort. Er studierte Mathematik und arbeitete nebenbei als Pianist und Zauberkünstler in Nachtklubs. Ab 1961 war er Mathematikprofessor an verschiedenen New Yorker Universitäten. Nach seiner Emeritierung wurde er 1982 noch zum Professor für Philosophie an die Indiana University berufen. Smullyan hat eine ganze Reihe von Büchern mit logischen und mathematischen Rätseln geschrieben. Im Mai 1959 stellte der bekannte amerikanische Unterhaltungsmathematiker Martin Gardner in seiner Kolumne in dem Magazin »Scientific American« seinen Lesern eines von Smullyans Rätsels.

Vor Ihnen auf dem Tisch stehen ein Krug mit genau einem Liter Wasser und ein Krug mit genau einem Liter reinen Alkohol. Beide Krüge sind nur etwa zur Hälfte gefüllt. Nun gießen Sie genau einen halben Liter Wasser in den Alkohol, rühren das Ganze gründlich um und gießen anschließend genau einen halben Liter des Gemischs in den Wasserkrug zurück. Diesen Vorgang wiederholen Sie jetzt so oft, bis in beiden Krügen genauso viel Alkohol wie Wasser ist. Wie viele Umfüllvorgänge sind dafür notwendig?

Wenn man immer einen halben Liter von einem Krug in den anderen kippt, ist es unmöglich, dass irgendwann beide Krüge genauso viel Alkohol enthalten wie Wasser.

Um dies zu zeigen, sollte man nicht versuchen, das Problem mit Zahlen zu lösen, da man sich dann schnell in einem Labyrinth von Brüchen verirren kann. Einfacher geht es so: Wenn man etwas Flüssigkeit aus dem Krug mit der höheren Alkoholkonzentration in den Krug mit der geringeren schüttet, ändert sich dadurch nicht die Konzentration im ersten Krug. Die Konzentration im zweiten Krug hingegen wird sich zwar erhöhen, kann aber natürlich nicht die des ersten Krugs erreichen.

Durch den Umkippvorgang bleibt also der erste Krug der mit der höheren Alkoholkonzentration. Kippen wir hingegen Flüssigkeit aus dem Krug mit der geringeren Alkoholkonzentration in den Krug mit der höheren, bleibt auch in diesem Fall die Konzentration im ersten Krug erhalten, während sie sich im zweiten verringert, aber nicht die des ersten erreicht.

In der Aufgabe beträgt die Alkoholkonzentration im ersten Krug zu Anfang 0% und die im zweiten Krug 100%. Es spielt darum keine Rolle, wie oft man einen halben Liter umfüllt, die Alkoholkonzentration bleibt im zweiten Krug immer höher als im ersten.

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