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Hemmes mathematische Rätsel: Zehnecke

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Charles Wilderman Trigg wurde 1898 in Baltimore (USA) geboren. Er arbeitete zunächst als Chemiker, Ingenieur und Mathematiker in der Industrie und von 1950 bis 1963 als Professor an der University of Southern California in Los Angeles. Er starb 1986. Trigg gehörte zu den kreativsten Erfindern von mathematischen Problemen und Denksportaufgaben des 20. Jahrhunderts. Niemand kennt die Anzahl der von ihm in Zeitschriften veröffentlichten Aufgaben genau, aber es werden vermutlich Zehntausende sein. Trigg hat jedoch nur ein einziges Buch geschrieben. Es trägt den Titel »Mathematical Quickies« und ist 1967 erschienen. Aus diesem Buch stammt das heutige Rätsel.

Unterteilt man den Umfang eines Kreises in zehn gleiche Stücke und verbindet alle benachbarten Teilungspunkte miteinander, erhält man ein regelmäßiges Zehneck. Verbindet man jedoch nicht die benachbarten Teilungspunkte, sondern die jeweils überübernächsten Nachbarn, so entsteht ein Sternzehneck. Angenommen, der Kreis hat einen Radius von zehn Zentimetern, wie groß ist dann die Differenz zwischen der Seitenlänge des Sternzehnecks und der des regelmäßigen Zehnecks? Eine Seite des Sternzehnecks ist dabei eine komplette Kreissehne und nicht nur die Kante einer Zacke.

In dem Kreis sind zwei Seiten des regelmäßigen Zehnecks, zwei Seiten des Sternzehnecks und zwei Durchmesser zu sehen.

Zehnecke

Der Durchmesser AF ist parallel zu der Sternzehneckseite BE und zur Seite CD des regelmäßigen Zehnecks. Ebenso liegen der Kreisdurchmesser BG und die Seiten CF und DE des Sternzehnecks beziehungsweise des regelmäßigen Zehnecks parallel zueinander. Folglich sind die beiden Vierecke CDEN und BNFM Rhomben.

Die gesuchte Differenz x zwischen einer Sternzehneckseite und einer Seite des regelmäßigen Zehnecks beträgt x = CF – DE. Da die Seiten eines Rhombus alle gleich lang sind, kann man DE durch CN ersetzen und erhält x = CF – CN. Diese Differenz ist gleich der Strecke NF und damit eine Seite des großen Rhombus BNFM. Folglich sind die Strecken NF und MF gleichlang und genauso groß wie der Radius des Kreises.

Die Seiten des Sternzehnecks sind also um den Kreisradius von zehn Zentimetern länger als die Seiten des regelmäßigen Zehnecks.

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