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Die Katastrophe einer Aktzeichnung

Mathematische Bezeichnungen sind häufig gewöhnungsbedürftig und manchmal geradezu irreführend. Eine Funktion hat einen Pol? Denken Sie nicht an einen Punkt im ewigen Eis, um den die Erde sich zu drehen scheint. Der Oberbegriff "Singularität" hilft auch nicht wirklich weiter; zudem kommen Singularitäten durchaus im Plural vor. Den Vogel schießt in dieser Beziehung jener Name ab, den der französische Mathematiker René Thom (1923–2002) einer speziellen Klasse von Singularitäten gegeben hat: Katastrophen.

Stellen Sie sich eine Kurve in Form eines geschwungenen N vor: im Prinzip von links unten nach rechts oben aufsteigend, mit einem Schlenker zwischendurch, so dass eine horizontale Linie stellenweise drei Punkte der Kurve trifft. Wenn Sie gern an Funktionen denken: f(x)=x3x und die x-Achse als Horizontale ergeben ein gutes Beispiel. Schiebt man die horizontale Gerade aufwärts, dann laufen irgendwann der linke und der mittlere Schnittpunkt in einen zusammen und verschwinden dann ganz, und nur der rechte bleibt übrig. Wie kommen Thom und seine Kollegen dazu, dieses unschuldige Ereignis als Katastrophe zu bezeichnen?

"Eingestürzt" als Gleichgewichtszustand

In einem speziellen Kontext kann dieser starke Begriff einleuchten. Die Punkte der Ebene, in der die Kurve liegt, entsprechen den möglichen Zuständen eines physikalischen Systems; auf der Kurve selbst liegen die Zustände minimaler Energie, denen das System zustrebt, und wegen gewisser äußerer Bedingungen ist der aktuelle Systemzustand auf die genannte horizontale Gerade beschränkt. Wenn die "Umwelt" sich ändert, das heißt die Gerade sich – zum Beispiel – aufwärts bewegt, wandert der Gleichgewichtszustand auf dem linken Ast der Kurve mit, bis er im oberen Umkehrpunkt der Kurve genötigt wird, auf den rechten Ast überzuspringen. Ob diese plötzliche Änderung zum Guten oder zum Schlechten ist, darüber sagt die Mathematik nichts; aber die Bezeichnung "Katastrophe" befriedigt immerhin einen morbiden Sinn für Dramatik. Sie passt sogar zum Hauptberuf des Autors. Allan McRobie lehrt an der University of Cambridge Stabilitätstheorie und Baustatik; und von einem hinreichend abstrakten Standpunkt aus betrachtet sind "intakt" und "zusammengebrochen" nichts weiter als zwei verschiedene Gleichgewichtszustände einer Brücke.

Nur: Darum geht es dem Autor in diesem Buch überhaupt nicht. Sein Thema sind, in Verallgemeinerung von Kurven, glatte, wohlgerundete Oberflächen, und zwar vorzugsweise solche des weiblichen Körpers. Die Gerade, die eine solche Oberfläche ein- oder mehrmals trifft, ist die Sichtlinie des Kunststudenten beim Aktzeichnen. Da, wo die Anzahl der Schnittpunkte von drei auf einen oder auch von zwei auf null zurückgeht, gehört ein Strich aufs Zeichenpapier, und der Punkt, an dem der Strich endet, ist – im Allgemeinen – eine Katastrophe im Sinne von Thom.

Ob und wo etwas so Singuläres vorliegt, liegt also im Auge des Betrachters. Entsprechend kann die Katastrophentheorie allenfalls etwas über das Bild des Objekts aussagen und nur indirekt, auf dem Umweg über das Bild, über das Objekt selbst. Immerhin lässt die Existenz einer der komplizierteren Katastrophen in der Abbildung darauf schließen, dass die abgebildete Oberfläche negativ gekrümmt sein muss (Beispiel: eine schlanke Taille). Eine positiv gekrümmte Oberfläche (Beispiel: Gesäßbacke) lässt nur den einfachsten Typ zu, die so genannte Faltungskatastrophe. McRobie nennt sogar ein Hilfsmittel, mit dem man durch einfaches Hinschauen positiv und negativ gekrümmte Oberflächen voneinander unterscheiden kann: eine transparente Folie mit dünnen schwarzen Streifen und gleich breiten Lücken dazwischen. Die Streifen ergeben zusammen mit ihren eigenen Schatten ein auffälliges Moiré-Muster auf einem dahinter liegenden Objekt, das positive und negative Krümmungen leicht erkennen lässt.

Sieben Katastrophentypen sollst du suchen

Das ist alles hübsch anzusehen. Aber dass die Katastrophentheorie zum Kunstgenuss beitrage, kann ich nicht nachvollziehen. René Thom hat beträchtlichen Scharfsinn auf den Nachweis verwandt, dass es überhaupt nur sieben Typen von Katastrophen gibt. In Zeichnungen und Gemälden findet man ohne weiteres die ersten beiden, muss aber nach den restlichen mühsam suchen. Da bleibt dem Kunstkonsumenten nicht viel anderes übrig, als den größeren Teil von Thoms – eigentlich bedeutendem – Werk zu missachten.

Überzeugender ist, was McRobie gewissermaßen als Nachtisch serviert, nachdem er sein Hauptthema abgehandelt hat: Katastrophenoptik. Man fasse nach dem huygensschen Prinzip jeden Punkt auf der Oberfläche eines beleuchteten Wassertropfens als punktförmige Lichtquelle auf. Von deren Lichtstrahlen treffen besonders viele unser Auge, wenn sie alle in Blickrichtung hintereinander liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn diese Blickrichtung eine Tangente an die Tropfenoberfläche ist, wenn also eine Faltungskatastrophe vorliegt. Andererseits zeigt uns der Wassertropfen ein mehrfach gebrochenes Spiegelbild der Sonne; die wiederum scheint eben wegen der Brechung für jede Spektralfarbe ein bisschen woanders zu stehen – und schon erklärt die Katastrophentheorie, wie ein Regenbogen zustandekommt.

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