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Oktonionen: Acht Dimensionen für das Standardmodell

Liegen seltsame achtdimensionale Zahlen den physikalischen Gesetzen zu Grunde? Die theoretische Physikerin Cohl Furey ist der Überzeugung, dass »Oktonionen« unsere Welt erklären.
Cohl Furey

Das Standardmodell der Teilchenphysik liefert zufrieden stellende Antworten für die meisten subatomaren Phänomene. Dennoch haben Physiker etliche Fragen, die bisher unbeantwortet blieben. Warum wiegt ein Elektron beispielsweise genau so viel, wie es wiegt? Oder warum gibt es im Standardmodell drei Teilchengruppen, die bis auf ihr Gewicht identisch sind?

Seit Jahrzehnten suchen Physiker deshalb vergeblich nach einer übergeordneten Theorie, die diese Geheimnisse lüftet. Die kanadische Physikerin Cohl Frey von der University of Cambridge in Großbritannien glaubt einer solchen Theorie auf der Spur zu sein und präsentiert in mehreren kurzen Videos ihre Ideen. Diese richten sich überwiegend an Physik- oder Mathematikstudenten, die bereits einige Grundlagen in abstrakter Mathematik sammeln konnten.

Furey zufolge liegen abstrakte, mehrdimensionale Zahlensysteme dem Standardmodell zu Grunde. Insbesondere die bisher wenig beachteten achtdimensionalen »Oktonionen« sollen dabei helfen, die seltsamen Muster in der Theorie subatomarer Teilchen zu erklären.

Von reellen Zahlen zu Oktonionen

Jeder kennt die reellen Zahlen. Wenn man zwei von ihnen addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, erhält man wieder eine reelle Zahl. Systeme, die diese Eigenschaft erfüllen, nennen Mathematiker »Divisionsalgebren«. Das mag zunächst nicht besonders erscheinen, doch die natürlichen Zahlen gehören beispielsweise nicht dazu: Teilt man drei durch zwei, erhält man 1,5, was keine natürliche Zahl mehr ist.

Wie Gerolamo Cardano aber im 16. Jahrhundert feststellte, lassen sich die reellen Zahlen erweitern: Man kann eine »imaginäre Einheit« i hinzufügen – sie entspricht der Wurzel aus minus eins –, unter der das neue Zahlensystem eine Divisionsalgebra bildet. Diese so genannten komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionale Verbindung reeller Zahlen auffassen: Jede komplexe Zahl z entspricht der Summe aus einem rein reellen Teil a und einem imaginären Teil bi, wobei a und b reelle Zahlen sind.

Heutzutage sind reelle und komplexe Zahlen in den Naturwissenschaften allgegenwärtig. Doch wie sich zeigt, lassen sich auch komplexe Zahlen zu Paaren verbinden, um eine neue Divisionsalgebra zu bilden: die vierdimensionalen Quaternionen. Der irische Mathematiker William Rowan Hamilton entdeckte sie 1843. Die besondere Symmetrie der Quaternionen führte dazu, dass einige Physiker sie zu Beginn des 20. Jahrhunderts nutzten, um die spezielle Relativitätstheorie zu formulieren. Heute kommen sie allerdings kaum noch vor, da sie durch einfachere Strukturen ersetzt wurden.

Wenn sich reelle Zahlen zu komplexen paaren lassen und komplexe Zahlen zu Quaternionen, könnte man dieses Spiel doch weitertreiben? Das dachte sich wohl Hamiltons Freund John Thomas Graves, der Quaternionen verband, um schließlich ein achtdimensionales Zahlensystem zu erhalten: die Oktonionen. Wie sich zeigen sollte, ist danach aber Schluss. Paare von Oktonionen führen zu einem Zahlensystem, bei dem die Division versagt: Sie besitzen so genannte Nullteiler, weil das Produkt zweier von null verschiedener Zahlen gleich null sein kann.

Vier Divisionsalgebren und vier fundamentale Wechselwirkungen?

Es wirkt auf viele Mathematiker überraschend, dass es genau vier Divisionsalgebren auf Grundlage der reellen Zahlen gibt – nicht mehr und nicht weniger. Dabei sind die Oktonionen in diesem Quartett das seltsamste Gebilde. Denn anders als die anderen Divisionsalgebren sind sie unter Multiplikation nicht assoziativ, das heißt, für sie ist a ⋅ (b ⋅ c) nicht gleich (a ⋅ b) ⋅ c. Wegen dieser ungewöhnlichen Eigenschaft und weiterer Eigenheiten haben Physiker ihnen bisher nur wenig Aufmerksamkeit geschenkt.

Eine Ausnahme bildete der Physiker Murat Günaydin und sein damaliger Doktorvater Feza Gürsey. In den 1970er Jahren stellten sie fest, dass eine Symmetrie der Oktonionen mit der Symmetrie der starken Wechselwirkung übereinstimmt. Als Cohl Furey knapp 40 Jahre später über die größtenteils in Vergessenheit geratenen Arbeiten stolperte, fing sie an zu grübeln: Wenn Quaternionen die Symmetrien der Raumzeit widerspiegeln und Oktonionen die starke Wechselwirkung – ließe sich dann das Standardmodell vielleicht durch eine Verbindung der vier Divisionsalgebren beschreiben?

Genau diese Idee verfolgt Furey nun. Ihr gelang es schon, einige Merkmale des Standardmodells aus den vier Divisionsalgebren herzuleiten: Sie konnte beispielsweise die korrekten Eigenschaften einer Teilchenfamilie (also eines Elektrons, seines Neutrinos, dreier Up-Quarks und dreier Down-Quarks sowie ihrer jeweiligen Antiteilchen) herleiten. Inwiefern sich dieses Ergebnis aber auf die zwei weiteren Teilchenfamilien im Standardmodell erweitern lässt, weiß niemand.

Insgesamt ist der Ansatz der kanadischen Physikerin noch recht spekulativ und wird von nur wenigen anderen Wissenschaftlern verfolgt. Ob ihre ungewöhnliche Forschung wirklich zu einem besseren Verständnis unserer Welt führen wird, ist bislang unklar.

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