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Noch bevor wir auch nur annähernd das Bewusstsein verstanden haben, fangen wir an, über gesteuerte Persönlichkeit nachzudenken – zu Recht, wie der Artikel zeigt.
Der Artikel fiel vor allem durch seine ungewohnt offenen, herrlich spekulativen Meinungen auf, die nun auch deutsche Wissenschaftler zur Zukunft der Neuroprothetik wagen. Ob diese Technologien reine therapeutische Verfahren bleiben, bleibt abzuwarten – was aus rein historischer Sicht allerdings fragwürdig scheint.
Schließlich haben tierexperimentelle Forschungen schon den Bereich der therapeutisch gerechtfertigten Neuroprothetik-Experimente verlassen. Talwar und Kollegen haben 2002 im Fachjournal Nature die sog. Roborat vorgestellt. Eine per intracorticaler Microstimulation ferngesteuerte Ratte. Übrigens auch schon zu sehen unter YouTube.com (einfach suchen nach "Roborat“). Dass sich für solche Technologien das amerikanische Militär interessiert und Millionen investiert, ist erst der Anfang.
Aber ein altes lateinisches Sprichwort sagt: Abusus non tollit usum – „Missbrauch hebt den richtigen Gebrauch nicht auf“. Das prominenteste Beispiel ist dafür sicherlich die Atomenergie! Wir können die Technologien ausbauen, nutzen und versuchen, internationale Ethik- und Sicherheitsstandards festzulegen. Versäumen wir das, werden sich andere darum kümmern, denn die Entwicklungen können wohl nur schwerlich aufgehalten werden. Aber ihre Einbindung in öffentliche Diskussionen und Aufklärungsarbeit können helfen, vor Horrorvisionen zu schützen. Nach der Entschlüsselung des humanen Gencodes brach eine Hysterie über den gläsernen Menschen aus, der im Supermarkt keine Vollmilch mehr kaufen darf, weil er eine genetische Prädisposition für hohe Cholesterinwerte hat.
Seit wenigstens Mitte der Achtziger Jahre hat die Spieltheorie Spiele vom Typ des Urlauberdilemmas formal gelöst; ich empfinde es als überraschend, einen so anachronistischen Beitrag in "Spektrum der Wissenschaft" zu finden.
Der erste entscheidende Gedanke zur Lösung ist, dass es sich beim Urlauberdilemma um ein symmetrisches Spiel handelt. Beide Spieler haben die gleiche Information und sind in der gleichen Lage. Sofern es eine Gewinnstrategie gibt, ist diese also symmetrisch: Für alle Spieler ist sie gleich, und alle Spieler finden sie und wenden sie an, falls sie perfekter Logik folgen.
Wenn beide Spieler auf reine Strategien beschränkt sind, also das direkte Nennen einer Zahl, liegt die Gewinnstrategie somit auf der Diagonalen der Auszahlungsmatrix. Der höchste Wert der Diagonalen ist 100 - unter den reinen Strategien ist 100 optimal.
Wer sagt jedoch, zweitens, dass die Gewinnstrategie eine reine Strategie sein muss? Es gibt durchaus Klügeres als eine reine Strategie.
Denn die Gewinnstrategie könnte auch darin bestehen, einen idealisierten Würfel zu werfen, der für jeden Wert eine Wahlwahrscheinlichkeit vorsieht - beispielsweise für 100 60% und für 99 40% Wahrscheinlichkeit. Werfen beide Spieler diesen Beispielwürfel, ergibt sich mit 36% die Paarung 100/100, mit 48% 100/99 und mit 16% 99/99. Auszahlungswert dieses Beispielwürfels wäre, wie man leicht aus der Matrix errechnet, für jeden Spieler der Wert 99,36. Welcher Würfel ist also der "Gewinnwürfel", der den Auszahlungswert maximiert? Da beide Spieler der Gewinnstrategie folgen, die daher denselben "Gewinnwürfel" anwenden, ist dieser Erwartungswert sogar gleich für beide Spieler. Kann man mit einer Mischstrategie mehr als 100 erreichen?
Man findet: Der "Gewinnwürfel" hat nur eine Seite. Die Gewinnstragie ist die reine Strategie 100. Beimischungen von Wahrscheinlichkeiten für niedrigere Werte bringen nichts. Dies liegt an dem geringen Vorteil des ehrlichen Spielers von nur 2. In keiner Zelle der Matrix übersteigt die Summe der Gewinne beider Spieler 200; dies zerstört den Nutzen von Betrug.
Die reine Strategie 100 ist daher spieltheoretisch optimal. Damit ist auch der Erwartungswert des Spiels 100: Der perfekte Logiker würde also bis 100 Euro bezahlen, um beim Spiel mitmachen zu dürfen.
Hätte es nicht den Autor misstrauisch machen sollen, dass die von ihm propagierte "logische" Strategie nur den Erwartungswert 2 hat, während 55% der Mitspieler ohne weiteres 100 Euro realisiert haben?
Wenn ich mir ansehe, wie viele Leute in meinem Bekanntenkreis durch amateurfußballspielen Probleme mit den Knien, Kreuzbändern etc. haben, kann ich mir schlecht vorstellen, dass Fußball tatsächlich der Volksgesundheit zuträglich ist.
Die von Julius Wess postulierte Supersymmetrie könnte vieles erklären, wenn sie denn bewiesen würde. Aber sie ist eine mutige Theorie, deren Vater man nur allen Respekt entgegenbringen kann. Wie spannend und begeisternd diese auch ist, so möge sie im Zusammenhang mit den Theorien anderer Zeitgenossen und im Kontext mit deren Gedanken und Experimenten genossen werden.
Ich möchte mir deshalb im wohlverstandenen Interesse aller erlauben darauf hinzuweisen, dass durch die eine Theorie nicht automatisch alle anderen ad acta zu legen seien – und vice versa. Explizit möchte ich hier auf Burkhard Heim und auf Erwin Schrödinger verweisen (ja – den mit der Katze).
Ich finde, es ist höchst interessant, wie der Versuch des Sachbearbeiters, sein ursprüngliches Problem - einen ihm unbekannten Wert für einen Gegenstand zu ermitteln - durch einen scheinbaren Wettstreit zwischen zwei Klienten zu lösen, als Prototyp für einen wirtschaftlichen Lösungsansatz gesehen wird:
Das Dilemma des Sachbearbeiters (und nicht jenes der Urlauber) besteht darin, dass er trotz völliger Unkenntnis des Wertes der Vasen sein Risiko auf 200 (Einheiten) begrenzen möchte. Es bleibt ihm also nur die Hoffnung, dass die Urlauber unter der Aussicht eines individuellen Vorteils gegeneinander spielen und er durch deren gegenseitiges Unterbieten die Zahlungen an sie minimieren kann.
Ich freue mich, dass - so scheint es - ein Großteil der Menschheit die Natur dieses Tricks (zumindest) intuitiv durchschaut und entsprechend mit Kooperation antwortet. Seltsam finde ich es, dass dafür keine mathematische Erklärung gefunden wird - betrachtet man den Sachbearbeiter als Mitspieler, so findet man ein Nullsummenspiel vor, dessen Lösung durch das Nash- Gleichgewich vermutlich plausibel erklärt wird. Menschen scheinen Erhaltungssätze nicht nur in der Physik zu bevorzugen. Vielleicht wäre eine kritische Betrachtung von "Nicht-Nullsummenspielen" ein Ansatz für die Spieltheoretiker.
Im Übrigen erfordert eine (darüber hinaus für alle auch "faire") Auflösung des Dilemmas einfach nur den Mut des Sachbearbeiters zu einer "beliebig hohen" Zahlung: Gibt er keine (obere) Schranke vor, dann haben die beiden Urlauber keine andere gemeinsame Information als den (wahren) Wert der Vase. Jede andere Wahl des anderen Urlaubers als diese wäre angesichts der unendlich vielen Möglichkeiten (und Vorlieben) beliebig unwahrscheinlich. Es bleibt daher genau eine rationale Wahl für beide Urlauber, die auch der Sachbearbeiter erwartet - der wahre Wert der Vase!
Die Verfasser dieses Artikels verwenden völlig unkritisch die Begriffe Geistestätigkeit, Vernunft, Verstand, logisches Schlussfolgern usw. bei der Beschreibung des Verhaltens von Kolkraben, ohne diese Termini näher zu erläutern. Sie fassen unter Letzte zum Beispiel Gefühle, Lernprozesse und Intelligenz. Zweifellos sind viele Tierarten mit derartigen Fähigkeiten ausgestattet. Kritisch muss man aber fragen: Handelt es sich hierbei wirklich um Denkvorgänge? Oder sind diese nicht vielmehr beschränkt auf eine sprachlich vermittelte objektivierende und abstrahierende Tätigkeit? Von einem Tier, das etwa Begriffe bilden kann, habe ich noch nichts gehört.
Im Artikel wird eine fliegende Eidechse aus der Kreidezeit beschrieben, die offensichtlich mittels einer Membran, die zwischen ihren verlängerten Rippen aufgespannt ist, durch die Luft gleiten konnte. Auch die so genannten fliegenden Schlangen der Gattung Chrysopelea aus Südostasien spreizen beim Flug die Rippen nach außen. Dabei nimmt die Unterseite die Form einer Tragfläche an, wodurch die Schlangen auch weite Strecken im Gleitflug überwinden können. Zum Glück gibt es Filmaufnahmen vom Gleitflug der Schlange wie unter www.flyingsnake.org, denn in freier Wildbahn ist es fast unmöglich, die genannte Schlange im Flug zu bewundern.
In Ihrem Artikel über den neuen Supernova-Typus stehen Grenzen von 140 und 260 Sonnenmassen, unterhalb derer sich Neutronensterne beziehungsweise oberhalb derer sich Schwarze Löcher bilden. Nach meinem etwa zehn Jahre alten Hobbyastronomenwissen dürfte es hier eher 14 und 26 Sonnenmassen lauten, da Sonnen mit über 50 Sonnenmassen sehr selten, solche mit über 100 extrem selten anzutreffen sind. Vor allem wäre die Lebensdauer eines Sterns mit über 260 Sonnenmassen in astronomischen Maßstäben so kurz, dass sich seine Masse kurz nach seiner Geburt schon wieder durch abgestoßene Materieschübe verringern dürfte.
Sie könnten ja mal einen Artikel über den jetzigen Stand der allgemeinen Forschung zu Sternpopulationen und den zehn massereichsten bekannten Sonnen in unserer Galaxie veröffentlichen.
Stellungnahme der Redaktion
Die Angaben in dem Artikel sind richtig, aber trotzdem brauchen Sie Ihre astronomischen Kenntnisse nicht ad acta zu legen.
Tatsächlich sind bereits Sterne mit mehr als 20 Sonnenmassen recht selten, auch wenn theoretische Überlegungen mittlerweile sogar Sterne mit mehreren Hundert Sonnenmassen in Betracht ziehen.
Der Vorläuferstern von SN2006gy, von dem unser Beitrag spricht, ist indessen etwas Besonderes. Wie die sehr alten Sterne des Kosmos bestand er vor allem aus leichten Elementen (in der Frühzeit des Universums gab es noch kaum schwere Elemente) – möglicherweise deshalb, weil er in einer metallarmen Region des Kosmos entstanden war. Diese sehr alten Sterne konnten aufgrund ihrer Zusammensetzung tatsächlich viel massereicher werden als das heutzutage noch möglich ist. Das lag vermutlich daran, dass der Strahlungsdruck von innen die weitere Akkretion nicht stoppen konnte: Hätte sich ihr Strahlungsdruck gegen schwerere Elemente mit größerem Wirkungsquerschnitt gerichtet, wäre er effektiver gewesen. Sehr alt wurden diese Sterne wegen ihrer hohen Masse nicht, sie hatten Lebensdauern von vielleicht einigen Millionen Jahren.
Die Entstehung von Neutronensternen und Schwarzen Löchern indessen wird üblicherweise anhand „normaler“ Sterne mit Anfangsmassen ab elf Sonnenmassen beschrieben. Diese bilden gegen Ende ihres Lebens einen Eisenkern aus, der eines Tages kollabiert (und dabei die Hülle in einer Supernova Typ II absprengt). Dann kommt es, abhängig von der Masse des verbleibenden Kerns, entweder zu einem Neutronenstern (Kernmasse zwischen 1,4 und etwa 3 Sonnenmassen) oder zu einem Schwarzen Loch (bei darüberliegenden Massen).
Der Vorläufer von SN2006gy indessen war kein „normaler“ Stern, sondern war sehr arm an schwereren Elementen und könnte tatsächlich eine Masse zwischen 140 und 260 Sonnenmassen aufgewiesen haben. Darauf weisen, so heißt es auch in dem Artikel, spektroskopische Daten und die große Helligkeit der Explosion hin. In diesem Massenbereich stellt sich die Endphase, zumindest laut Computermodellen, allerdings anders dar: Es kommt zu der besagten Paarinstabilitäts-Supernova, bei der das hydrostatische Gleichgewicht zusammenbricht, weil ein Teil der nach außen gerichteten Strahlung schlagartig entfällt (indem sie nämlich in Elektron-Positron-Paare umgesetzt wird). Wäre der Stern leichter gewesen als 140 Sonnenmassen, wäre er zum Neutronenstern geworden, wäre er schwerer gewesen als 260 Sonnenmassen, wäre am Ort der SN2006gy jetzt ein Schwarzes Loch zu finden.
Nachlesen kann man hierzu: "How Massive Single Stars End Their Life" von Heger et al. in: The Astrophysical Journal, Volume 591, Issue 1, pp. 288-300. Hier ist der Text als Preprint frei erhältlich. Unter anderem finden Sie hier ein Diagramm, in dem Anfangsmasse gegen Anfangs-Metallgehalt aufgetragen ist und die entsprechenden Schicksale der Vorläufersterne dargestellt sind.
Abgesehen davon wären massereiche Sterne tatsächlich ein schönes Thema für SdW.
Ich persönliche finde Chex besser als das "klassische" Schach. Erstens benötigt es weniger Zeit, und zweitens beansprucht es einen, trotz der wenigeren Figuren, geistig mehr, da die Figuren viel mehr können als im klassischen Schach.
In wissenschaftlichen Fachtexten findet man meistens statt Euro oder Dollar nur abstrakte Geldeinheiten. Es ist also nicht definiert, wie viel eine Geldeinheit wert ist. Wäre der Gegenstand der Verhandlungen eine äußerst wertvolle Ming-Vase, würde man alle Beträge (Geldeinheiten) mit 1000 multiplizieren müssen, um vernünftige Euro-Beträge zu erhalten. 2000 Euro Strafe tun dann schon weh.
Stellungnahme der Redaktion
Die Antwort vom Standpunkt des abstrakten Theoretikers ist relativ einfach: Dem gedachten Nutzenmaximierer kommt es auf einen Vorfaktor nicht an. Die Theorie bleibt unverändert, wenn man alle Beiträge mit 1000 multipliziert.
Für die konkreten Urlauber in dem anschaulichen Beispiel macht der Faktor 1000 natürlich einen riesigen Unterschied. Aber die Geschichte wird dadurch nicht unbedingt realistischer. Zwei Urlauber kaufen sich in Fernost zwei identische Ming-Vasen für jeweils einen großen fünfstelligen Euro-Betrag und tun sie dann ins aufgegebene Fluggepäck, gegen Zerstörung durch nichts gesichert als die eigene schmutzige Unterwäsche? Schwer vorstellbar. Ich glaube, ich würde die 2000 Euro dann auch noch vorher drauflegen, um das gute Stück heile nach Hause zu bekommen. Und dann wird es eine anderes Spiel, nämlich Festsetzung der Versicherungssumme beim Abschluss der Reisegepäckversicherung. Sehr interessant – aber ein anderes Thema.
Eine Möglichkeit, aus dem Dilemma herauszukommen, wäre eine Kooperation der beiden Spieler in dem Sinne, dass sie die Summe ihrer beiden Auszahlungen maximieren und diese dann halbe-halbe aufeinander verteilen. Das Maximum der Summe wäre dann 200, und jeder bekäme 100.
Das Strategienpaar (100, 100) ist übrigens ein so genanntes Pareto-Optimum, das dadurch definiert ist, dass eine Vergrößerung der Auszahlung eines Spielers durch Änderung seiner Strategie (zum Beispiel durch die Wahl von 99 anstelle von 100, was ihm die Auszahlung 101 sichern würde) notwendig zu einer Verkleinerung der Auszahlung an den anderen Spieler (nämlich zu 97 anstelle von 100) führt. (In diesem Fall wäre die Gesamtauszahlung nur 198).
Auf die gleiche Weise ist es auch möglich, aus dem Gefangenendilemma herauszukommen.
Unter der offenbar üblichen spieltheoretischen Grundannahme "der Andere denkt gleich" treten beide Spieler einander mit der identischen Strategie gegenüber, folglich ist der Erwartungswert des Gewinns für beide Spieler gleich hoch.
Es gibt so nur zwei mögliche Strategien:
– Gleichstand. Beide Spieler setzen immer die gleiche Zahl und erhalten folglich diese ausbezahlt. Hier ist der maximale Einsatz (100) zwangsläufig der optimale Einsatz.
– Gewinnen/Verlieren. Die Spieler wählen ihren Einsatz zufällig (z.B. 99 oder 100, je mit 50% Wahrscheinlichkeit). Sie "gewinnen" also einen Teil aller Spiele, "verlieren" einen gleich großen Teil und erzielen in den verbleibenden Spielen Gleichstand (im konkreten Beispiel 25%/25%/50%). Weil die Auszahlung bei Ungleichstand auf dem tieferen der beiden Einsätze basiert, liegt der langfristige Ertrag unter dem Mittel der Einsätze (99,25 in diesem Beispiel).
Ganz offensichtlich ist die erste der beiden Strategien gewinnbringender, und 100 somit die rationalste Strategie.
Die im Artikel als rational verkaufte Überlegung, dass die Strategie 99 über 100 "dominiere", ist unter dem Axiom, dass der andere Spieler immer gleich denkt, falsch. Sie geht fälschlicherweise davon aus, dass das gegenüber immer noch 100 setzt, während man selbst einen Schritt weiter gedacht hat. Die Strategie 99 bringt bei gleich denkenden Spielern einen erwarteten Gewinn von 99 statt 100 und ist somit unterlegen.
Sowohl das Gefangenendilemma als auch das Urlauberdilemma beschreiben ein symmetrisches Spiel:
1. Für alle beteiligten Spieler gelten die gleichen Regeln.
2. Alle Spieler besitzen auch die gleichen Informationen.
Daraus folgt, dass es keinen Grund gibt, weshalb ein Spieler eine andere Wahl trifft als ein beliebiger anderer Spieler. Daher sind nur Spiele möglich, bei denen alle Spieler die gleiche Wahl treffen. Das heißt, in der Auszahlungsmatrix ist nur die Hauptdiagonale (das gilt äquivalent für beliebig viele Spieler) erlaubt. Dies hat die folgenden Konsequenzen:
1. Ausgehend von einem legalen Spiel (z.B. 76/76) können weitere Varianten untersucht (z.B. 25/25 und 87/87, es ist dabei egal, ob eine kleine oder eine große Distanz zum Ausgangsspiel gewählt wird) und die jeweils günstigere Variante gewählt werden. In jedem Fall ergibt sich bei iterativer Anwendung das Optimum 100/100. Ich behaupte sogar, dass es sich hierbei um das Nash-Gleichgewicht handelt (solange die Symmetrie erhalten bleibt!). Es ergibt sich somit zwanglos das beobachtete Ergebnis der Tests. Ein Nash-Gleichgewicht von 2/2 ergibt sich nur bei der Berücksichtigung von unsymmetrischen Varianten!
2. Der große Rest in der Auszahlungsmatrix, der für unsymmetrisches Verhalten gilt, hat keine Bedeutung und darf auch nicht bei der Analyse des Spiels verwendet werden.
3. Alle Regeln, die bei unsymmetrischem Verhalten gelten, haben keinerlei Bedeutung und dienen nur der Verschleierung und Verkomplizierung des Spiels.
4. Der im Text genannte mögliche Gewinn von über 100 existiert nicht wirklich, sondern nur wenn die Symmetrie des Spiels ignoriert wird.
Ich behaupte daher, dass das sogenannte Dilemma nur existiert, wenn der symmetrische Aufbau des Spiels ignoriert wird und daraus die falschen Schlüsse gezogen werden.
Alle Abweichungen bei den durchgeführten Tests haben meines Erachtens folgende Gründe:
1. Nicht jeder Teilnehmer durchschaut die Symmetrie und kann deren Konsequenzen abschätzen.
2. In einigen Fällen können weitere psychologische Ursachen (Art der Aufgabenstellung, Vorwissen, etc.) dazukommen.
3. Eventuell kann die Suggerierung eines Gewinns von über 100 zu Fehlschlüssen führen.
Ich möchte daher behaupten, dass der Artikel in SdW die Symmetrie des Spiels und deren Auswirkungen ignoriert, aber das ist leider kein Einzelfall (siehe die lange Historie des Gefangenendilemmas und anderer Spiele).
Ich halte es für nicht sehr wahrscheinlich, dass noch kein Spieltheoretiker die Lösung des "Spieltheoretikerdilemmas" gefunden hat. Deshalb ist wohl meine Lösung hier irrational! Oder?
Also: Beide Spiele, Urlauberdilemma (UD) und Gefangenendilemma (GD) werden in der Literatur als symmetrische, nichtnullsummige Zweipersonenspiele zwischen zwei Personen in gleicher Situation behandelt.
Das ist beim UD in der Ursprungsfassung immer und beim GD - abhängig von der Spielmatrix und der Situation meistens falsch.
Beim UD spielen nicht die beiden Urlauber gegeneinander, sondern jeder für sich mit unvollständiger Information gegen den Sachbearbeiter. Die Bonus- Malus-Regel mit +/- 2 Einheiten ist, verglichen mit den erzielbaren Gewinnen, vernachlässigbar. Der Zweck dieser Regel (wie auch der textlichen Disposition) ist lediglich, den "Spieltheoretiker" aufs Glatteis einer "Intellektuellen Täuschung" (siehe unten) zu locken.
Ich, als einer der Urlauber, kann den anderen als indifferenten Zufallszahlengenerator mit einer von mir angenommenen Häufigkeitsverteilung ansehen. Die wird mit Sicherheit im Mittel weit über den zwei Einheiten der "spieltheoretischen Optimalstrategie" liegen.
Also ist mein Einsatz von 100 Einheiten die rationalste Entscheidung!
Für das GD ist diese Überlegung stark von der Spielmatrix abhängig. In meiner Erinnerung war bei der ersten mir bekannten Veröffentlichung die Höchststrafe die Exekution. Bei solch einem Risiko wird wohl kaum jemand auf die Kooperation des anderen Gefangenen setzen.
Ich habe damals mit geringen Geldbeträgen das GD mit zwei Mitarbeitern gespielt. Die (Systemanalytiker) hatten ohne Verabredung sofort begriffen, dass sie koalieren mussten. Die haben mich dann als Bankhalter auch ausgenommen, bis ich das Spiel abbrach.
Technischer Support bei Hirnchip-Fehlfunktionen: 0800-...
26.08.2007, Max Happel, MagdeburgDer Artikel fiel vor allem durch seine ungewohnt offenen, herrlich spekulativen Meinungen auf, die nun auch deutsche Wissenschaftler zur Zukunft der Neuroprothetik wagen. Ob diese Technologien reine therapeutische Verfahren bleiben, bleibt abzuwarten – was aus rein historischer Sicht allerdings fragwürdig scheint.
Schließlich haben tierexperimentelle Forschungen schon den Bereich der therapeutisch gerechtfertigten Neuroprothetik-Experimente verlassen. Talwar und Kollegen haben 2002 im Fachjournal Nature die sog. Roborat vorgestellt. Eine per intracorticaler Microstimulation ferngesteuerte Ratte. Übrigens auch schon zu sehen unter YouTube.com (einfach suchen nach "Roborat“). Dass sich für solche Technologien das amerikanische Militär interessiert und Millionen investiert, ist erst der Anfang.
Aber ein altes lateinisches Sprichwort sagt: Abusus non tollit usum – „Missbrauch hebt den richtigen Gebrauch nicht auf“. Das prominenteste Beispiel ist dafür sicherlich die Atomenergie! Wir können die Technologien ausbauen, nutzen und versuchen, internationale Ethik- und Sicherheitsstandards festzulegen. Versäumen wir das, werden sich andere darum kümmern, denn die Entwicklungen können wohl nur schwerlich aufgehalten werden. Aber ihre Einbindung in öffentliche Diskussionen und Aufklärungsarbeit können helfen, vor Horrorvisionen zu schützen. Nach der Entschlüsselung des humanen Gencodes brach eine Hysterie über den gläsernen Menschen aus, der im Supermarkt keine Vollmilch mehr kaufen darf, weil er eine genetische Prädisposition für hohe Cholesterinwerte hat.
Symmetrisches Spiel mit Erwartungswert 100
25.08.2007, Dr. Harald Deutsch, SchwalbachDer erste entscheidende Gedanke zur Lösung ist, dass es sich beim Urlauberdilemma um ein symmetrisches Spiel handelt. Beide Spieler haben die gleiche Information und sind in der gleichen Lage. Sofern es eine Gewinnstrategie gibt, ist diese also symmetrisch: Für alle Spieler ist sie gleich, und alle Spieler finden sie und wenden sie an, falls sie perfekter Logik folgen.
Wenn beide Spieler auf reine Strategien beschränkt sind, also das direkte Nennen einer Zahl, liegt die Gewinnstrategie somit auf der Diagonalen der Auszahlungsmatrix. Der höchste Wert der Diagonalen ist 100 - unter den reinen Strategien ist 100 optimal.
Wer sagt jedoch, zweitens, dass die Gewinnstrategie eine reine Strategie sein muss? Es gibt durchaus Klügeres als eine reine Strategie.
Denn die Gewinnstrategie könnte auch darin bestehen, einen idealisierten Würfel zu werfen, der für jeden Wert eine Wahlwahrscheinlichkeit vorsieht - beispielsweise für 100 60% und für 99 40% Wahrscheinlichkeit. Werfen beide Spieler diesen Beispielwürfel, ergibt sich mit 36% die Paarung 100/100, mit 48% 100/99 und mit 16% 99/99. Auszahlungswert dieses Beispielwürfels wäre, wie man leicht aus der Matrix errechnet, für jeden Spieler der Wert 99,36. Welcher Würfel ist also der "Gewinnwürfel", der den Auszahlungswert maximiert? Da beide Spieler der Gewinnstrategie folgen, die daher denselben "Gewinnwürfel" anwenden, ist dieser Erwartungswert sogar gleich für beide Spieler. Kann man mit einer Mischstrategie mehr als 100 erreichen?
Man findet: Der "Gewinnwürfel" hat nur eine Seite. Die Gewinnstragie ist die reine Strategie 100. Beimischungen von Wahrscheinlichkeiten für niedrigere Werte bringen nichts. Dies liegt an dem geringen Vorteil des ehrlichen Spielers von nur 2. In keiner Zelle der Matrix übersteigt die Summe der Gewinne beider Spieler 200; dies zerstört den Nutzen von Betrug.
Die reine Strategie 100 ist daher spieltheoretisch optimal. Damit ist auch der Erwartungswert des Spiels 100: Der perfekte Logiker würde also bis 100 Euro bezahlen, um beim Spiel mitmachen zu dürfen.
Hätte es nicht den Autor misstrauisch machen sollen, dass die von ihm propagierte "logische" Strategie nur den Erwartungswert 2 hat, während 55% der Mitspieler ohne weiteres 100 Euro realisiert haben?
Verletzungsrisiko
24.08.2007, StabingerAlternativen nicht ad acta legen
24.08.2007, Dr. Ing. Lutz DonnerhackIch möchte mir deshalb im wohlverstandenen Interesse aller erlauben darauf hinzuweisen, dass durch die eine Theorie nicht automatisch alle anderen ad acta zu legen seien – und vice versa. Explizit möchte ich hier auf Burkhard Heim und auf Erwin Schrödinger verweisen (ja – den mit der Katze).
Sachbearbeiterdilemma
20.08.2007, Dr. Erich Pfalzmann, WienDas Dilemma des Sachbearbeiters (und nicht jenes der Urlauber) besteht darin, dass er trotz völliger Unkenntnis des Wertes der Vasen sein Risiko auf 200 (Einheiten) begrenzen möchte. Es bleibt ihm also nur die Hoffnung, dass die Urlauber unter der Aussicht eines individuellen Vorteils gegeneinander spielen und er durch deren gegenseitiges Unterbieten die Zahlungen an sie minimieren kann.
Ich freue mich, dass - so scheint es - ein Großteil der Menschheit die Natur dieses Tricks (zumindest) intuitiv durchschaut und entsprechend mit Kooperation antwortet. Seltsam finde ich es, dass dafür keine mathematische Erklärung gefunden wird - betrachtet man den Sachbearbeiter als Mitspieler, so findet man ein Nullsummenspiel vor, dessen Lösung durch das Nash- Gleichgewich vermutlich plausibel erklärt wird. Menschen scheinen Erhaltungssätze nicht nur in der Physik zu bevorzugen. Vielleicht wäre eine kritische Betrachtung von "Nicht-Nullsummenspielen" ein Ansatz für die Spieltheoretiker.
Im Übrigen erfordert eine (darüber hinaus für alle auch "faire") Auflösung des Dilemmas einfach nur den Mut des Sachbearbeiters zu einer "beliebig hohen" Zahlung: Gibt er keine (obere) Schranke vor, dann haben die beiden Urlauber keine andere gemeinsame Information als den (wahren) Wert der Vase. Jede andere Wahl des anderen Urlaubers als diese wäre angesichts der unendlich vielen Möglichkeiten (und Vorlieben) beliebig unwahrscheinlich. Es bleibt daher genau eine rationale Wahl für beide Urlauber, die auch der Sachbearbeiter erwartet - der wahre Wert der Vase!
Sind es wirklich Denkvorgänge?
20.08.2007, Dr. Eckart Lefringhausen, GeldernSchlangen im Gleitflug
20.08.2007, Martin Rabe, HagenAllzu massereiche Sterne?
20.08.2007, Dr. Marcus Böhm, NürnbergSie könnten ja mal einen Artikel über den jetzigen Stand der allgemeinen Forschung zu Sternpopulationen und den zehn massereichsten bekannten Sonnen in unserer Galaxie veröffentlichen.
Die Angaben in dem Artikel sind richtig, aber trotzdem brauchen Sie Ihre astronomischen Kenntnisse nicht ad acta zu legen.
Tatsächlich sind bereits Sterne mit mehr als 20 Sonnenmassen recht selten, auch wenn theoretische Überlegungen mittlerweile sogar Sterne mit mehreren Hundert Sonnenmassen in Betracht ziehen.
Der Vorläuferstern von SN2006gy, von dem unser Beitrag spricht, ist indessen etwas Besonderes. Wie die sehr alten Sterne des Kosmos bestand er vor allem aus leichten Elementen (in der Frühzeit des Universums gab es noch kaum schwere Elemente) – möglicherweise deshalb, weil er in einer metallarmen Region des Kosmos entstanden war. Diese sehr alten Sterne konnten aufgrund ihrer Zusammensetzung tatsächlich viel massereicher werden als das heutzutage noch möglich ist. Das lag vermutlich daran, dass der Strahlungsdruck von innen die weitere Akkretion nicht stoppen konnte: Hätte sich ihr Strahlungsdruck gegen schwerere Elemente mit größerem Wirkungsquerschnitt gerichtet, wäre er effektiver gewesen. Sehr alt wurden diese Sterne wegen ihrer hohen Masse nicht, sie hatten Lebensdauern von vielleicht einigen Millionen Jahren.
Die Entstehung von Neutronensternen und Schwarzen Löchern indessen wird üblicherweise anhand „normaler“ Sterne mit Anfangsmassen ab elf Sonnenmassen beschrieben. Diese bilden gegen Ende ihres Lebens einen Eisenkern aus, der eines Tages kollabiert (und dabei die Hülle in einer Supernova Typ II absprengt). Dann kommt es, abhängig von der Masse des verbleibenden Kerns, entweder zu einem Neutronenstern (Kernmasse zwischen 1,4 und etwa 3 Sonnenmassen) oder zu einem Schwarzen Loch (bei darüberliegenden Massen).
Der Vorläufer von SN2006gy indessen war kein „normaler“ Stern, sondern war sehr arm an schwereren Elementen und könnte tatsächlich eine Masse zwischen 140 und 260 Sonnenmassen aufgewiesen haben. Darauf weisen, so heißt es auch in dem Artikel, spektroskopische Daten und die große Helligkeit der Explosion hin. In diesem Massenbereich stellt sich die Endphase, zumindest laut Computermodellen, allerdings anders dar: Es kommt zu der besagten Paarinstabilitäts-Supernova, bei der das hydrostatische Gleichgewicht zusammenbricht, weil ein Teil der nach außen gerichteten Strahlung schlagartig entfällt (indem sie nämlich in Elektron-Positron-Paare umgesetzt wird). Wäre der Stern leichter gewesen als 140 Sonnenmassen, wäre er zum Neutronenstern geworden, wäre er schwerer gewesen als 260 Sonnenmassen, wäre am Ort der SN2006gy jetzt ein Schwarzes Loch zu finden.
Nachlesen kann man hierzu: "How Massive Single Stars End Their Life" von Heger et al. in: The Astrophysical Journal, Volume 591, Issue 1, pp. 288-300. Hier ist der Text als Preprint frei erhältlich. Unter anderem finden Sie hier ein Diagramm, in dem Anfangsmasse gegen Anfangs-Metallgehalt aufgetragen ist und die entsprechenden Schicksale der Vorläufersterne dargestellt sind.
Abgesehen davon wären massereiche Sterne tatsächlich ein schönes Thema für SdW.
Chex - kleiner, aber besser
19.08.2007, Jochen Endermann, Kirchheim/TeckRe: Subjektive Bewertung der Strafe
18.08.2007, Sabine Schulz, HoyerswerdaDie Antwort vom Standpunkt des abstrakten Theoretikers ist relativ einfach: Dem gedachten Nutzenmaximierer kommt es auf einen Vorfaktor nicht an. Die Theorie bleibt unverändert, wenn man alle Beiträge mit 1000 multipliziert.
Für die konkreten Urlauber in dem anschaulichen Beispiel macht der Faktor 1000 natürlich einen riesigen Unterschied. Aber die Geschichte wird dadurch nicht unbedingt realistischer. Zwei Urlauber kaufen sich in Fernost zwei identische Ming-Vasen für jeweils einen großen fünfstelligen Euro-Betrag und tun sie dann ins aufgegebene Fluggepäck, gegen Zerstörung durch nichts gesichert als die eigene schmutzige Unterwäsche? Schwer vorstellbar. Ich glaube, ich würde die 2000 Euro dann auch noch vorher drauflegen, um das gute Stück heile nach Hause zu bekommen. Und dann wird es eine anderes Spiel, nämlich Festsetzung der Versicherungssumme beim Abschluss der Reisegepäckversicherung. Sehr interessant – aber ein anderes Thema.
Sommerloch
18.08.2007, Karola RockmannKooperation als Ausweg
17.08.2007, Prof. Dr. W. Krabs, DarmstadtDas Strategienpaar (100, 100) ist übrigens ein so genanntes Pareto-Optimum, das dadurch definiert ist, dass eine Vergrößerung der Auszahlung eines Spielers durch Änderung seiner Strategie (zum Beispiel durch die Wahl von 99 anstelle von 100, was ihm die Auszahlung 101 sichern würde) notwendig zu einer Verkleinerung der Auszahlung an den anderen Spieler (nämlich zu 97 anstelle von 100) führt. (In diesem Fall wäre die Gesamtauszahlung nur 198).
Auf die gleiche Weise ist es auch möglich, aus dem Gefangenendilemma herauszukommen.
Der Andere denkt gleich
16.08.2007, Christian Thalmann, ZürichEs gibt so nur zwei mögliche Strategien:
– Gleichstand. Beide Spieler setzen immer die gleiche Zahl und erhalten folglich diese ausbezahlt. Hier ist der maximale Einsatz (100) zwangsläufig der optimale Einsatz.
– Gewinnen/Verlieren. Die Spieler wählen ihren Einsatz zufällig (z.B. 99 oder 100, je mit 50% Wahrscheinlichkeit). Sie "gewinnen" also einen Teil aller Spiele, "verlieren" einen gleich großen Teil und erzielen in den verbleibenden Spielen Gleichstand (im konkreten Beispiel 25%/25%/50%). Weil die Auszahlung bei Ungleichstand auf dem tieferen der beiden Einsätze basiert, liegt der langfristige Ertrag unter dem Mittel der Einsätze (99,25 in diesem Beispiel).
Ganz offensichtlich ist die erste der beiden Strategien gewinnbringender, und 100 somit die rationalste Strategie.
Die im Artikel als rational verkaufte Überlegung, dass die Strategie 99 über 100 "dominiere", ist unter dem Axiom, dass der andere Spieler immer gleich denkt, falsch. Sie geht fälschlicherweise davon aus, dass das gegenüber immer noch 100 setzt, während man selbst einen Schritt weiter gedacht hat. Die Strategie 99 bringt bei gleich denkenden Spielern einen erwarteten Gewinn von 99 statt 100 und ist somit unterlegen.
Es gibt kein Dilemma
15.08.2007, Matthias Heininger, Mömbris1. Für alle beteiligten Spieler gelten die gleichen Regeln.
2. Alle Spieler besitzen auch die gleichen Informationen.
Daraus folgt, dass es keinen Grund gibt, weshalb ein Spieler eine andere Wahl trifft als ein beliebiger anderer Spieler. Daher sind nur Spiele möglich, bei denen alle Spieler die gleiche Wahl treffen. Das heißt, in der Auszahlungsmatrix ist nur die Hauptdiagonale (das gilt äquivalent für beliebig viele Spieler) erlaubt. Dies hat die folgenden Konsequenzen:
1. Ausgehend von einem legalen Spiel (z.B. 76/76) können weitere Varianten untersucht (z.B. 25/25 und 87/87, es ist dabei egal, ob eine kleine oder eine große Distanz zum Ausgangsspiel gewählt wird) und die jeweils günstigere Variante gewählt werden. In jedem Fall ergibt sich bei iterativer Anwendung das Optimum 100/100. Ich behaupte sogar, dass es sich hierbei um das Nash-Gleichgewicht handelt (solange die Symmetrie erhalten bleibt!). Es ergibt sich somit zwanglos das beobachtete Ergebnis der Tests. Ein Nash-Gleichgewicht von 2/2 ergibt sich nur bei der Berücksichtigung von unsymmetrischen Varianten!
2. Der große Rest in der Auszahlungsmatrix, der für unsymmetrisches Verhalten gilt, hat keine Bedeutung und darf auch nicht bei der Analyse des Spiels verwendet werden.
3. Alle Regeln, die bei unsymmetrischem Verhalten gelten, haben keinerlei Bedeutung und dienen nur der Verschleierung und Verkomplizierung des Spiels.
4. Der im Text genannte mögliche Gewinn von über 100 existiert nicht wirklich, sondern nur wenn die Symmetrie des Spiels ignoriert wird.
Ich behaupte daher, dass das sogenannte Dilemma nur existiert, wenn der symmetrische Aufbau des Spiels ignoriert wird und daraus die falschen Schlüsse gezogen werden.
Alle Abweichungen bei den durchgeführten Tests haben meines Erachtens folgende Gründe:
1. Nicht jeder Teilnehmer durchschaut die Symmetrie und kann deren Konsequenzen abschätzen.
2. In einigen Fällen können weitere psychologische Ursachen (Art der Aufgabenstellung, Vorwissen, etc.) dazukommen.
3. Eventuell kann die Suggerierung eines Gewinns von über 100 zu Fehlschlüssen führen.
Ich möchte daher behaupten, dass der Artikel in SdW die Symmetrie des Spiels und deren Auswirkungen ignoriert, aber das ist leider kein Einzelfall (siehe die lange Historie des Gefangenendilemmas und anderer Spiele).
Die Irrationalität der Rationalität
15.08.2007, Ben-Michael Schueler, HamburgAlso: Beide Spiele, Urlauberdilemma (UD) und Gefangenendilemma (GD) werden in der Literatur als symmetrische, nichtnullsummige Zweipersonenspiele zwischen zwei Personen in gleicher Situation behandelt.
Das ist beim UD in der Ursprungsfassung immer und beim GD - abhängig von der Spielmatrix und der Situation meistens falsch.
Beim UD spielen nicht die beiden Urlauber gegeneinander, sondern jeder für sich mit unvollständiger Information gegen den Sachbearbeiter. Die Bonus- Malus-Regel mit +/- 2 Einheiten ist, verglichen mit den erzielbaren Gewinnen, vernachlässigbar. Der Zweck dieser Regel (wie auch der textlichen Disposition) ist lediglich, den "Spieltheoretiker" aufs Glatteis einer "Intellektuellen Täuschung" (siehe unten) zu locken.
Ich, als einer der Urlauber, kann den anderen als indifferenten Zufallszahlengenerator mit einer von mir angenommenen Häufigkeitsverteilung ansehen. Die wird mit Sicherheit im Mittel weit über den zwei Einheiten der "spieltheoretischen Optimalstrategie" liegen.
Also ist mein Einsatz von 100 Einheiten die rationalste Entscheidung!
Für das GD ist diese Überlegung stark von der Spielmatrix abhängig. In meiner Erinnerung war bei der ersten mir bekannten Veröffentlichung die Höchststrafe die Exekution. Bei solch einem Risiko wird wohl kaum jemand auf die Kooperation des anderen Gefangenen setzen.
Ich habe damals mit geringen Geldbeträgen das GD mit zwei Mitarbeitern gespielt. Die (Systemanalytiker) hatten ohne Verabredung sofort begriffen, dass sie koalieren mussten. Die haben mich dann als Bankhalter auch ausgenommen, bis ich das Spiel abbrach.