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Freistetters Formelwelt: Der Fall der französischen Eisenbahnmetrik

Den Abstand zwischen zwei Punkten zu messen, scheint simpel. Was wir normalerweise als "Abstand" verstehen, ist aber nur ein Weg von vielen, wie man eine Distanz mathematisch definieren kann. Manche Phänomene brauchen ihre ganz eigenen Formeln.
Eisenbahn im Sonnenaufgang

An den Schulunterricht zur Trigonometrie erinnern sich viele vermutlich nur mit Unbehagen. Die Beschäftigung mit den Eigenschaften von Dreiecken kann auf den ersten Blick durchaus einschüchternd wirken. Die kompliziert wirkenden Formeln über Winkelfunktionen, Katheten und Hypotenusen sind verwirrend, wenn man den dahintersteckenden tieferen Sinn nicht vermittelt – etwa durch die "Dreiecksungleichung":

c ≤ a + b

Hat man ein Dreieck, in dem die drei Seiten die Länge a, b und c haben, dann ist die Summe der Längen zweier Seiten immer größer als die Länge der dritten. Das ist eine recht triviale Aussage und nichts anderes als die mathematische Formulierung der Alltagsweisheit, dass der direkte Weg stets der kürzeste ist.

Die Mathematik wird aber dann erst so richtig interessant, wenn man sie verallgemeinert. Mit der Dreiecksungleichung kann man sehr viel mehr machen, als nur die Eigenschaften von Dreiecken zu beschreiben. Ein Abstand ist in der Mathematik nicht zwangsläufig das, was man zwischen Punkten mit dem Lineal messen kann.

Eine verallgemeinerte Abstandsfunktion wird "Metrik" genannt. Formal ist eine Funktion d genau dann eine Metrik, wenn sie zwei Elementen x und y einer Menge einen Wert zuweist, der nicht negativ ist; d(x,y) muss also größer als null sein beziehungsweise gleich null, wenn x und y identisch sind. Sie muss außerdem symmetrisch sein; es muss also gleich sein, ob man die Metrik auf das Paar (x,y) oder das Paar (y,x) anwendet. Und die Metrik muss die Dreiecksungleichung erfüllen: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

Wenn wir den Abstand zwischen zwei Punkten in dem aus der Trigonometrie vertrauten zweidimensionalen Raum berechnen wollen, dann tun wir das mit einer "euklidischen Metrik", die direkt aus dem Satz des Pythagoras über rechtwinklige Dreiecke folgt und mit dem übereinstimmt, was wir auch mit dem Lineal messen können.

Bei der etwa von der Relativitätstheorie beschriebenen gekrümmten Raumzeit sind dagegen ganz andere Metriken nötig, wenn man die Distanz zwischen zwei Punkten sinnvoll definieren will. Aber auch wenn man nicht in die Tiefen von Einsteins Kosmos eindringt, lassen sich Fälle finden, in denen man mit normalen Abständen nicht weiterkommt. Zum Beispiel bei der "französische Eisenbahnmetrik". Dazu betrachten wir eine Menge von Punkten, die in einer Ebene liegen, in der sich auch ein vorab fest gewählter Punkt P befindet. Abstände berechnen sich mit dieser Metrik dann so: Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B ist gleich dem normalen euklidischen Abstand, wenn A und B entlang einer Linie liegen. Ist das nicht der Fall, dann entspricht der Abstand der Summe aus den euklidischen Abständen zwischen A und P sowie B und P.

Der Name dieser Metrik bezieht sich auf das früher sehr zentralisierte Schienennetz Frankreichs. Von Paris aus konnte man quasi jeden Bahnhof direkt erreichen, und jede Bahnlinie führte direkt nach Paris. Das ist ideal, wenn das Ziel der Reise tatsächlich Paris ist oder zumindest auf derselben Bahnlinie Richtung Paris liegt wie der Ausgangsbahnhof. Ist das jedoch nicht der Fall, muss man große Umwege in Kauf nehmen und immer zuerst in die Hauptstadt fahren, bevor man von dort entlang einer anderen Bahnlinie das Ziel erreicht.

Definiert man das mathematisch exakt, dann erfüllt so eine Abstandsfunktion alle Bedingungen einer Metrik, und man kann damit formal genauso arbeiten und Abstände messen, wie man es mit den aus der Trigonometrie vertrauten Formeln tun kann. Und geht man nach dem, was man bei Reisen mit der Bahn erleben kann, dann erscheint es manchmal angebracht, seine vertrauten Vorstellungen von Distanz und Dauer durch etwas Komplexeres zu ersetzen …

04/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 04/2018

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