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Freistetters Formelwelt: Mathematisches Tischerücken

In der Welt der Mathematik funktioniert unser Hausverstand oft nicht mehr: Vermeintlich Offensichtliches ist aus mathematischer Sicht alles andere als trivial - und umgekehrt.
Bänke und Tische in einem Biergarten

Ein sehr gutes Beispiel für die rigorose Sorgfältigkeit, die beim mathematischen Denken notwendig ist, liefert der so genannte »Zwischenwertsatz«:

Zwischenwertsatz

Diese für Uneingeweihte unverständliche Abfolge von Symbolen beschäftigt sich mit einer mathematischen Funktion f, die jeder reellen Zahl x im Intervall [a,b] einen Wert f(x) zuordnet, der zwischen f(a) und f(b) liegt (sofern f(a) kleiner als f(b) ist; sonst ist es umgekehrt). Die Funktion muss außerdem stetig sein, darf also – vereinfacht gesagt – keine Sprünge aufweisen.

Sind diese Voraussetzungen erfüllt, dann besagt der Zwischenwertsatz, dass man zu jeder Zahl u, die zwischen f(a) und f(b) liegt, mindestens eine Zahl c finden kann, die beim Einsetzen in die Funktion den Wert u liefert. Anders ausgedrückt: Die Funktion nimmt auf jeden Fall jeden Wert an, der zwischen f(a) und f(b) liegt.

Ein Spezialfall macht den Satz noch einmal deutlicher: Ist f(a) kleiner als null und f(b) größer, dann besagt der Zwischenwertsatz, dass die Funktion f irgendwann einmal definitiv den Wert null annehmen muss. Bei näherer Betrachtung scheint das völlig klar. Wenn die Funktion zum Beispiel die Temperatur beschreibt und ich weiß, dass es im Januar -10 Grad hatte und im Juli +30 Grad, dann muss es irgendwann dazwischen einmal auf jeden Fall einen Zeitpunkt gegeben haben, an dem die Temperatur genau null Grad betrug.

Diese Aussage erscheint so offensichtlich, dass man sich fragt, wieso die Mathematiker überhaupt auf die Idee kommen, sie extra in ihrer Formelsprache aufzuschreiben und dann auch noch streng beweisen zu wollen. Und tatsächlich hat man das lange Zeit nicht getan. Bis zum 19. Jahrhundert hielten viele Mathematiker den Zwischenwertsatz für so offenkundig, dass er keines Beweises bedurfte. Aber als die Mathematik immer komplexer wurde, stieg der Bedarf nach einer absolut sicheren logischen und formalen Grundlage. Nichts konnte einfach so vorausgesetzt werden, egal wie plausibel es erscheinen mochte. Und auch der Zwischenwertsatz musste vernünftig formuliert und bewiesen werden, was die beiden Mathematiker Bernard Bolzano und Augustin-Louis Cauchy zu Beginn des 19. Jahrhunderts taten.

Trotz der Offensichtlichkeit des Zwischenwertsatzes kann man daraus durchaus überraschende Aussagen ableiten. Wenn man sich zum Beispiel in einem sommerlichen Biergarten befindet, kann es passieren, dass die Tische auf unebenem Untergrund stehen und wackeln. Man kann sich dann einfach mit einem Bierdeckel behelfen und probieren, den Tisch damit zu stabilisieren. Oder man benutzt den Zwischenwertsatz.

Geht man von einem Tisch mit vier Beinen aus, dann kann man drei davon immer direkt auf dem Boden positionieren. Ist der Untergrund uneben, dann wird das vierte Tischbein aber in der Luft hängen. Dreht man den Tisch nun um 90 Grad um seinen Mittelpunkt und zwingt die drei Beine, die anfangs den Boden berührt haben, das auch weiterhin zu tun, wird das vierte Bein am Ende zwangsläufig in den Boden hineingedrückt. War der Abstand zwischen Tischbein und Boden zuerst positiv, ist er nun negativ, und der Zwischenwertsatz besagt, dass es irgendwo dazwischen auf jeden Fall einen Zustand geben muss, in dem das Bein exakt den Boden berührt.

Der streng mathematische Beweis für diese Aussage ist nicht leicht zu führen. Nachdem das Problem des wackelnden Tisches in den 1970er Jahren das erste Mal formuliert wurde, hat es mehr als 30 Jahre gedauert, bis eine Lösung gefunden wurde (allerdings nur unter der Voraussetzung, dass der Boden nicht um mehr als 35 Grad geneigt ist).

Ob man sich allerdings beim Personal beliebt macht, wenn man die Tische im Biergarten dreht, ist eine ganz andere Frage. Doch dafür ist die Mathematik dann nicht mehr zuständig.

33/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 33/2018

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