Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: babylonische Methode

eines der ältesten Verfahren zur praktischen Berechnung der Quadratwurzel einer reellen Zahl.

Ist a eine positive reelle Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll, so setze man x0 = a und für alle n ∈ ℕ

\begin{eqnarray}{x}_{n}=\frac{1}{2}\cdot ({x}_{n-1}+\frac{a}{{x}_{n-1}}).\end{eqnarray}

Die solchermaßen definierte Folge {xn} konvergiert quadratisch gegen die gesuchte Zahl \(\sqrt{a}\). Die Wahl des Anfangswertes x0 = a ist dabei willkürliche Konvention, das angegebene Verfahren konvergiert für jeden positiven Startwert.

Man kann die oben definierte Iterationsvorschrift als Newton-Verfahren interpretieren, angewandt auf die Funktion \begin{eqnarray}f(x)={x}^{2}-a.\end{eqnarray}

Da \(\sqrt{a}\) eine einfache Nullstelle dieser Funktion ist, folgt die quadratische Konvergenz unmittelbar aus den bekannten Eigenschaften des Newton-Verfahrens.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos