grundlegende Größe in der Variationsrechnung.

Gegeben sei das Minimierungsproblem \begin{eqnarray}\min J(y)=\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}F(x,y(x),{y}^{^{\prime} }(x))dx.\end{eqnarray}

Um eine optimale Lösung zu finden, setzt man oft die Methoden der Variationsrechnung ein. Dabei führt man eine neue Funktion \begin{eqnarray}Y(x,\varepsilon )=y(x)+\varepsilon \cdot \eta (x)\end{eqnarray} ein, wobei η eine feste Funktion ist, die sowohl bei x₀ als auch bei x₁ verschwindet. Ist y eine Lösung des Optimierungsproblems, so muß J(Y) als Funktion von ϵ bei ϵ = 0 ein Minimum haben. Man betrachtet deshalb die Größe \begin{eqnarray}\partial J={\left(\frac{\partial J(Y(x,\varepsilon ))}{\partial \varepsilon }\right)}_{\varepsilon =0}d\varepsilon \end{eqnarray} und bezeichnet sie als erste Variation des Funktionals J.