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Lexikon der Mathematik: Gross, Satz von

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei f eine transzendente meromorphe Funktion in ℂ, w0 ∈ ℂ und z0 ∈ ℂ mit f(z0) = w0. Weiter existiere eine Umgebung U ⊂ ℂ von w0derart, daß f in U eine holomorphe Umkehrfunktion f−1mit f−1(w0) = z0besitzt. Dann besitzt f−1entlang fast jeden Strahls \begin{eqnarray}{S}_{\phi }\,\,:=\,\,\{{w}_{0}\,+\,r{e}^{i\phi }\,:\,r\,\ge \,0\}\end{eqnarray}von w0nacheine analytische Fortsetzung, d. h. die Menge aller ϕ ∈ [0, 2π), für die dies nicht zutrifft, ist eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Ein Wert w0 ∈ ℂ erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Gross genau dann, wenn w0 ∉ sing f−1. Dabei ist \begin{eqnarray}\text{sing}\,{f}^{-1}={C}_{f}\,\cup \,{A}_{f}\,\cup \,{H}_{f},\end{eqnarray} wobei die Mengen Cf, Af und Hf wie folgt definiert sind. Es ist Cf die Menge aller kritischen Werte c ∈ ℂ von f, d. h. es gibt ein ζ ∈ ℂ mit f(ζ ) = c und f′(ζ ) = 0. Die Menge Af enthält die asymptotischen Werte a ∈ ℂ von f, d. h. es gibt einen Weg γ :[0, ∞) → ℂ mit γ(t) → ∞ (t → ∞) und f(γ(t)) → a (t → ∞). Schließlich ist Hf die Menge aller Häufungspunkte von CfAf. Die Menge Cf ist stets höchstens abzählbar, während es vorkommen kann, daß Af = ℂ. Nach dem Satz von Iversen (Iversen, Satz von) ist aAf sicher dann, wenn f(z) ≠ a für alle z ∈ ℂ.

In der englischsprachigen Literatur nennt man den Satz von Gross das „Gross Star Theorem“.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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