ein Hausdorffscher topologischer Raum M mit abzählbarer Basis, für welchen es ein d ∈ ℕ so gibt, daß für jedes m ∈ M eine offene Umgebung U von m und ein Homöomorphismus φ : U → U_φ von U auf eine offene Teilmenge U_φ des ℝ^d existiert.

Die Zahl d heißt dabei die Dimension der Mannigfaltigkeit, der Homöomorphismus φ eine Karte, und das System aller Karten der Atlas von M. Sind φ : U → U_φ und ψ : V → V_ψ Karten von M mit U ∩ V ≠ ø, so nennt man die Abbildung ψ ○ φ⁻¹ : U_φ → V_ψ einen Kartenwechsel.

Anschaulich ist eine Mannigfaltigkeit also ein topologischer Raum, der lokal so aussieht wie der ℝ^d, und der daher auch lokaleuklidisch genannt wird. Man muß damit rechnen, daß die Definition von Mannigfaltigkeiten von der hier gegebenen abweicht: Manche Autoren verzichten auf die Abzählbarkeit der Basis, andere verlangen Zusammenhang.

Mannigfaltigkeiten werden oft mit Zusatzstrukturen versehen. Die wichtigste ist die Differenzierbarkeit: Hier wird verlangt, daß Kartenwechsel Diffeomorphismen sind. Dies macht Sinn, da Kartenwechsel Abbildungen zwischen offenen Teilmengen des ℝ^d sind. Verlangt man nur n-malige Differenzierbarkeit, spricht man von Cⁿ-Mannigfaltigkeiten; sind Kartenwechsel analytische Funktionen, heißt die Mannigfaltigkeit analytisch.

Komplexe Mannigfaltigkeiten erhält man, wenn man in der Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit „ℝ“ durch „ℂ“ und „differenzierbar“ durch „holomorph“ ersetzt. Riemannsche Flächen sind zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeiten der komplexen Dimension 1, haben also Dimension 2 als Mannigfaltigkeiten über ℝ.

Eine Abbildung f : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M und N heißt differenzierbar, wenn gilt: Zu jedem m ∈ M gibt es Karten (U, φ) auf M und (V, ψ) auf N mit m ∈ U, f (m) ∈ V derart, daß die von f induzierte Abbildung ψ ○ f ○ φ⁻¹ auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar im Sinne der gewöhnlichen Analysis ist.

Wird eine Mannigfaltigkeit M durch zwei verschiedene Atlanten \({\mathscr{A}}\) und \({\mathscr{B}}\) zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gemacht, so heißen \({\mathscr{A}}\) und \({\mathscr{B}}\) äquivalent, wenn es einen Diffeomorphismus von \((M,{\mathscr{A}})\) auf \((M,{\mathscr{B}})\) gibt.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit einer positiv definiten Metrik nennt man Riemannsche Mannigfaltigkeiten; auf ihnen lassen sich Begriffe wie Länge, Winkel, Krümmung usw. definieren. Ist die Metrik nicht positiv definit, spricht man von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Mannigfaltigkeit mit indefiniter Metrik); diese spielen für die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie eine zentrale Rolle.

Typische Beispiele (differenzierbarer) Mannigfaltigkeiten sind der ℝⁿ selbst, offene Teilmengen des ℝⁿ, die n-dimensionale Sphäre Sⁿ = {x ∈ ℝⁿ⁺¹: ∥x∥ — 1}, oder der projektive Raum ℙⁿℝ. Eine Verallgemeinerung des letzten Beispiels sind Graßmann-Mannigfaltigkeiten G_pqℝ, deren Elemente p-dimensionale Untervektorräume von ℝ^p+q sind.

Bei all diesen Beispielen sind strenggenommen natürlich noch die entsprechenden Atlanten anzugeben; im Beispiel der 2-Sphäre wird ein solcher Atlas von den beiden stereographischen Projektionen vom Nord- und Südpol aus geliefert.