Hemmes mathematische Rätsel: Der Teich auf dem Bauerhof
Der Mathematiker Li Ye wurde 1192 in Peking geboren und starb 1279 in der Provinz Hopeh. Li Ye war Gouverneur von Chün-cou. Als das Gebiet 1232 den Mongolen in die Hände fiel, floh er, lebte in einfachen Verhältnissen und begann sich mit wissenschaftlichen Fragen zu beschäftigen. Unter Kublai Khan hatte er für einige Zeit einen Lehrstuhl für Geschichte inne. Von Li Ye sind zwei mathematische Schriften überliefert. Die erste Schrift stammt aus dem Jahr 1248 und trägt den Titel »Meeresspiegel der Kreisberechnungen«. Die zweite Arbeit mit dem Titel »Neue Schritte der Berechnungen« verfasste er 1259. In diesem Buch führte er geometrische Probleme auf algebraische Gleichungen zurück und verwendete dabei Methoden, die in Europa erst viel später entdeckt werden.
Die erste Aufgabe dieses Buches lautet: Genau in der Mitte eines quadratischen Bauernhofs liegt ein kreisförmiger Teich. Die Landfläche des Hofs beträgt 13 Mou und 71⁄2 Zehntel eines Mous. Die Ufer des Teichs nähern sich den Grundstücksgrenzen bis auf 20 Pu. Welchen Durchmesser hat der? Übrigens entspricht ein Mou genau 240 Quadratpu.
13 Mou und 71⁄2 Zehntel eines Mous lassen sich auch als 13,75 Mou schreiben. Da 1 Mou genau 240 Quadratpu entspricht, beträgt die Landfläche des Bauernhofs 13,75 × 240 = 3300 Quadratpu.
Der Teich hat einen Durchmesser D und nähert sich den Hofgrenzen bis auf 20 Pu. Also hat, in Quadratpu gerechnet, der Bauernhof insgesamt die Fläche (D + 40)2, wovon der 1⁄4Teich πD2 einnimmt.
Folglich gilt die Gleichung (D + 40)2 − 1⁄4πD2 = 3300. Sie lässt sich zu (1 − 1⁄4π)D2 + 80D = 1700 vereinfachen. Diese quadratische Gleichung hat die positive Lösung D = 20(√(132 − 17π) − 8)/(4 − π) ≈ 20,159.
Der Durchmesser des Teiches ist als etwas größer als 20 Pu. Li Ye, der für π die Zahl 3 als Näherungswert genommen hatte, erhielt als Teichdurchmesser genau 20 Pu.
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