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Hemmes mathematische Rätsel: Die ägyptische Halbkugel

Können Sie aus einer Altägyptischen Formel schließen, welchen Wert die Ägypter für die Kreiszahl Pi annahmen?
Die Kreiszahl Pi

Der »Moskauer Papyrus 4676« ist eine altägyptische Sammlung von 25 Rechenaufgaben. Er ist 5,44 Meter lang und nur 8 Zentimeter breit, wurde um 1850 v. Chr. geschrieben und ist neben dem »Papyrus Rhind« eine der wichtigsten Quellen für die antike ägyptische Mathematik. Der Papyrus wurde 1893 von dem russischen Ägyptologen W. S. Golenischtschewin in Ägypten gekauft und befindet sich seit 1911 im Puschkin-Museum in Moskau.

In dem Papyrus wird ein Verfahren gezeigt, wie man die Oberfläche A einer Halbkugel mit dem Durchmesser d = 412 berechnen kann. Hier ist die wörtliche Übersetzung:

Form der Berechnung eines Korbes, wenn man dir nennt einen Korb mit einer Mündung zu 412 in Erhaltung. Oh, lass mich wissen seine Oberfläche. Berechne du 19 von 9, weil ja der Korb die Hälfte eines Eies ist. Es entsteht 1. Berechne den Rest als 8. Berechne 19 von 8. Es entsteht 23 16 118. Berechne du den Rest von dieser 8 nach diesen 23 16 118. Es entsteht 719. Rechne du mit 719 412 mal. Es entsteht 32. Siehe: Es ist seine Oberfläche. Du hast richtig gefunden.

In moderner Formelschreibweise hätte diese Rechenvorschrift folgendes Aussehen: A = [(2d − 29d) − 19(2d − 29d)]d. Angenommen, diese Gleichung entspräche der korrekten Formel für die Oberfläche einer Halbkugel, nur hätten die Ägypter nicht den richtigen Wert für die Kreiszahl π gekannt. Welchen Wert hätten die Ägypter für die Kreiszahl bei ihrer Formel benutzt?

Die korrekte Gleichung für die Oberfläche A einer Halbkugel mit dem Durchmesser d lautet A = πd2/2. Dieser Ausdruck wird mit dem altägyptischen Verfahren gleichgesetzt: πd2/2 = [(2d − 29d) − 19(2d − 29d)]d. Löst man diese Gleichung nach π auf, erhält man nach einigen Umformungen π = 25681 = 3,160… Die alten Ägypter haben also eine Halbkugeloberfläche schon recht genau berechnen können, denn ihr Wert für π weicht vom korrekten Wert 3,141… nur um etwa 0,6 Prozent ab.

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