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Hemmes mathematische Rätsel: Die Kubikzahlentreppe

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Die erste Zeitschrift, die ausschließlich Artikel und Aufgaben zur Unterhaltungsmathematik veröffentlichte, war das belgische Magazin »Sphinx«, das den Untertitel »Revue Mensuelle des Questions Récréatives« trug. Es erschien monatlich von 1931 bis 1939 in Brüssel und wurde von dem in Russland geborenen belgischen Mathematiker und Elektroingenieur Maurice Borissowitsch Kraitchik (1882–1957) herausgegeben. Das Magazin und ihr Herausgeber organisierten sogar zwei internationale Kongresse zur Unterhaltungsmathematik. Der erste Kongress fand 1935 in Brüssel und der zweite 1937 in Paris statt. Die Vorträge erschienen anschließend auch in der »Librarie de Sphinx«. Einer der fleißigsten Leser der »Sphinx« war ein Herr Pigeolet aus Antwerpen, der Dutzende von mathematischen Knobeleien an die Zeitschrift schickte. Im Januar 1933 erschien in der »Sphinx« sein Kubikzahlenrätsel.

Ersetzen Sie jeden Kreis durch eine Ziffer, so dass eine Treppe aus zehn verschiedenen vierstelligen Kubikzahlen entsteht. Die Zahlen werden alle entweder von links nach rechts oder von oben nach unten gelesen, und keine von ihnen beginnt mit einer Null.

Es gibt insgesamt zwölf vierstellige Kubikzahlen: 103 = 1000, 113 = 1331, 123 = 1728, 133 = 2197, 143 = 2744, 153 = 3375, 163 = 4096, 173 = 4913, 183 = 5832, 193 = 6859, 203 = 8000 und 213 = 9261.

Im Inneren der Treppe ist jede Endziffer einer Zahl gleichzeitig die Anfangsziffer der nächsten Zahl. Die 0 taucht zweimal und die 7 einmal bei den zwölf Kubikzahlen als Endziffer auf, aber keinmal als Anfangsziffer. Da die Treppe aus zehn Zahlen besteht, muss eine dieser drei Zahlen das untere Ende und die anderen neun Zahlen müssen den Rest der Treppe bilden.

Die 1 und die 4 sind bei den zwölf Kubikzahlen jeweils einmal häufiger Anfang- als Endziffer. Darum muss eine der dazugehörigen Kubikzahlen die erste Stufe bilden, und eine, die mit der anderen der beiden Ziffern beginnt, kann dann gar nicht mehr in der Treppe auftauchen.

Da die Treppe aber aus zehn Zahlen besteht, kann dies nur eine Zahl mit der Endziffer 0 oder 7 sein. Hierfür kommt allein 1000 in Frage. Somit beginnt die Treppe mit 4096 oder 4913, doch nur die zweite Zahl führt zu einer Lösung.

Die Kubikzahlentreppe

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