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Hemmes mathematische Rätsel: Eins, zwei, drei und vier

Können Sie aus allen vier Ziffern 1,2,3,4 mit beliebig vielen Klammern, Dezimalpunkten, Potenzen, Plus-, Minus-, Durch-, Malzeichen eine möglichst große Zahl bilden?
Zahlen

Der Mathematiker James Alston Hope Hunter (1902-1986) aus Toronto in Kanada hat mehr als ein halbes Dutzend Bücher mit selbst erfundenen mathematischen Denksportaufgaben veröffentlicht. Alle Probleme sind in kleine Geschichten gekleidet und oft sogar in Versform gebracht worden. Seine Bücher waren sehr erfolgreich und wurden immer wieder neu aufgelegt. Die vier Bände Challenging Mathematical Teasers, Entertaining Mathematical Teasers and How to Solve Them, Mathematical Brain-Teasers und Mathematical Diversions sind sogar noch heute erhältlich.

In der Zeitschrift Recreational Mathematics Magazin forderte er 1962 die Leser und Leserinnen auf, aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 eine möglichst große Zahl zu bilden. Jede dieser vier Ziffern musste genau einmal verwendet werden, andere Ziffern waren nicht erlaubt. Zusätzlich durften noch beliebig viele Klammern, Dezimalpunkte, Potenzen, Plus-, Minus-, Mal- und Geteiltzeichen verwenden werden. Außerdem war natürlich die amerikanische Schreibweise der Dezimalzahlen zulässig. Das Komma konnte also durch einen Punkt ersetzt werden und eine einzelne Null vor dem Dezimalpunkt durfte fortgelassen werden. Statt der europäischen 0,4 konnte man also die amerikanische .4 schreiben.

Den größtmöglichen Wert erreicht man, wenn man aus den vier Ziffern eine Exponentialleiter bildet. Da der Einfluss eines Exponenten in der Leiter auf den Wert der Leiter umso größer ist, je weiter er oben steht, sollten die Exponenten ihrer Größe nach in der Leiter geordnet sein.

Die Zahlen .1, .2, .3 und .4 entsprechen den Brüchen 1⁄10, 1⁄5, 3⁄10 und 2⁄5. Will man sie mit einer negativen Zahl potenzieren, muss man zunächst Nenner und Zähler vertauschen und sie dann mit dem Betrag der Zahl potenzieren. So wird zum Beispiel aus .1-1, .2-1, .3-1 und .4-1 genau 10, 5, 10⁄3 und 5⁄2.

Verteilt man nun die Zahlen, die sich aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 mit oder ohne Dezimalpunkten und Vorzeichen bilden lassen, der Größe nach auf den Plätzen der Exponentialleiter, erhält man die gesuchte Lösung.

Eins, zwei, drei und vier

Diese Zahl ist so gigantisch groß, dass die Zahl, die die Zahl ihrer Stellen angibt, selbst bereits 6988 Stellen hat.

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