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Hemmes mathematische Rätsel: Lili Marleen

Schatten von Männern auf einer StraßeLaden...

Martin Gardner wurde 1914 in Tulsa in Oklahoma geboren und schrieb über ein Vierteljahrhundert lang für das amerikanische Wissenschaftsmagazin »Scientific American« die Kolumne »Mathematical Games«, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete, mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte und den Lesern Rätsel zu lösen gab. Gardner wurde weltbekannt, und Monat für Monat lasen hunderttausende begeistert seine Kolumne. Gardners Artikel wurden zu mehr als einem Dutzend Bücher zusammengefasst und in vielen Sprachen zu Bestsellern. Am 22. Mai 2010 starb Martin Gardner im Alter von 95 Jahren. Im August 1966 veröffentlichte er folgendes Rätsel:

Vor der Kaserne vor dem großen Tor stand eine Laterne, und unter der Laterne stand Lili Marleen. Es war dunkel, und sie wartete auf ihren Liebsten, doch der kam nicht. Schließlich ging sie traurig fort. Durch das Licht der Laterne warf Lili Marleen einen Schatten auf das Straßenpflaster. Zuerst war er ganz kurz, aber je weiter sie sich von der Laterne entfernte, umso länger wurde er. Die Lampe der Laterne hing 4,2 Meter über dem Boden, Lili Marleen war 1,68 Meter groß und entfernte sich mit einen konstanten Geschwindigkeit von 3 Kilometer pro Stunde von der Laterne. Wie schnell bewegte sich ihre Schattenspitze?

Die Laterne hängt in einer Höhe H = 4,2 Meter über dem Boden und Lili Marleen hat die Größe h = 1,68 Meter. Sie befindet sich in einer Entfernung x und ihre Schattenspitze in einer Entfernung X vom Fuß der Laterne. Auf Grund des Strahlensatzes gilt X : H = (X − x) : h. Nach X aufgelöst wird daraus X = Hx/(H − h). Lili Marleen geht mit einer konstanten Geschwindigkeit v = 3 Kilometer pro Stunde von der Laterne fort. Für die Strecke x benötigt sie die Zeit t. Es gilt also x = vt und damit X/t = Hv/(H − h). Da alle Größen auf der rechten Seite dieser Gleichung konstant sind, muss es auch die linke Seite sein. Die Geschwindigkeit u = X/t der Schattenspitze ist also konstant und hat den Wert u = Hv/(H − h) = 5 km/h.

Lili Marleen

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