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Hemmes mathematische Rätsel: Magische Dominoquadrate

Wählen Sie aus einem Dominospiel acht Steine so aus, dass Sie sie zu einem magischen Quadrat vierter Ordnung mit einer möglichst großen magischen Konstante auslegen können.
Dominosteine

Ein magisches Quadrat vierter Ordnung hat 4×4 Felder, in denen Zahlen stehen. Die Summe der Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen ist gleich und wird als magische Konstante des Quadrats bezeichnet. Magische Quadrate kennt man schon sehr lange. Wahrscheinlich wurden sie im 5. vorchristlichen Jahrhundert in China erfunden. Ähnlich wie magische Quadrate haben auch Dominosteine quadratische Felder, auf denen Zahlen stehen. Alter und Herkunft des Dominospiels sind unbekannt. Es wird vermutet, dass es auch aus China stammt und von Marco Polo im 13. Jahrhundert nach Europa gebracht wurde. Beide Spiele kann man auch kombinieren.

Ein gewöhnliches Dominospiel besteht aus 28 Steinen mit Augenzahlen von 0 bis 6 pro Feld. Wählen Sie aus einem solchen Spiel acht Steine so aus, dass Sie sie zu einem magischen Quadrat vierter Ordnung mit einer möglichst großen magischen Konstante auslegen können. Wie groß ist die größtmögliche magische Konstante?

Nur das Domino (6,6) hat die Augensumme 12 und nur das Domino (6,5) die Augensumme 11. Mit der Augensumme 10 und 9 gibt es jeweils zwei Steine, nämlich (6,4) und (5,5) sowie (6,3) und (5,4). Die Augensumme 8 wird von den drei Dominos (6,2), (5,3) und (4,4) erreicht. Das bedeutet, die acht Dominos, die ein magisches 4×4-Quadrat bilden, können zusammen höchstens 12 + 11 + 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 = 77 Augen haben. Die magische Konstante ist die Augenzahl pro Zeile und damit genau ein Viertel der Gesamtaugenzahl. Da 77 nicht durch 4 teilbar ist, kann die Gesamtaugenzahl des Quadrates höchstens 76 betragen und die magischen Konstante maximal 76/4 = 19 sein.

Ein magisches Dominoquadrat mit der magischen Konstante 19 zu finden, ist nicht besonders schwierig, denn es gibt sehr viele davon. Die Zeichnung zeigt ein besonders einfaches Beispiel dafür, bei dem alle Steine quer liegen.

Magische Dominoquadrate

Die beiden amerikanischen Mathematiker Michael Springfield und Wayne Goddard von der Clemson University in South Carolina haben im Jahr 2008 gezählt, dass es insgesamt 3 639 920 verschiedene magische Dominoquadrate 4. Ordnung gibt, wobei die symmetrischen Lösungen nicht mitgezählt sind. Davon haben 976 Quadrate die magische Konstante 19. Man kann übrigens leicht zeigen, dass Quadrate mit der magischen Konstante 19 immer die Steine (6,6), (6,5), (6,4) und (5,5) enthalten müssen.

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