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Hemmes mathematische Rätsel: Mondsicheln

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Das populärwissenschaftliche britische Magazin »New Scientist« erscheint seit 1956 jede Woche. Seit dem 22. Februar 1979 findet man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel »Enigma«, die einige Jahre lang von Eric Emmet, Martin Hollis und Stephen Ainley geschrieben wurde. Die Kolumne lief fast 35 Jahre lang, wenn auch die Autoren mehrfach wechselten. Am 28. Dezember 2013 erschien die 1780. Ausgabe und gleichzeitig das letzte »Enigma«. Das folgende Rätsel stellte Colin Singleton den Lesern des »New Scientist« am 10. Juni 1995.

Der Goldene Schnitt Φ = 12(1 + √5) ist ein Streckenverhältnis, das seit der Antike in der Kunst und in der Architektur verwendet und als besonders ästhetisch empfunden wird. Ein Rechteck mit den Seitenlängen Φ und 1/Φ liegt mit seinen vier Ecken auf dem Umfang eines Kreises. Auf den Seiten sitzen vier Halbkreise, deren Mittelpunkte mit den Seitenmitten zusammenfallen. Der Kreis und die Halbkreise bilden vier Mondsicheln. Wie groß ist der Flächeninhalt der vier Mondsicheln zusammen?

Die beiden großen Halbkreise der Figur kann man zu einem großen Kreis und die beiden kleinen Halbkreise zu einem kleinen Kreis zusammenfügen. Den Flächeninhalt der vier Mondsicheln A erhält man nun, indem man zum Flächeninhalt des Rechtecks A1 den des großen Kreises A2 und den des kleinen Kreises A3 hinzuzählt und davon den Flächeninhalt des Umkreises A4 wieder abzieht.

Es gilt also A = A1 + A2 + A3 − A4. Die Inhalte der Kreisflächen sind das π-Fache ihrer Radienquadrate. Damit erhält man für die gesuchte Fläche A = A1 + πr22 + πr32 − πr42 oder A = A1 + π(r22 + r32 − r42).

Der Radius des großen Kreises ist r2 = Φ/2 und der des kleinen r3 = 1/(2Φ). Das Radiusquadrat des Umkreises kann man mit dem Satz des Pythagoras zu r42 = (Φ/2)2 + 1/(2Φ)2 berechnen.

Damit ergibt sich für die Fläche der Mondsicheln A = Φ · 1/Φ + π((Φ/2)2 + 1/(2Φ)2 − (Φ/2)2 − 1/(2Φ)2). Dies lässt sich zu A = 1 vereinfachen.

Der Goldene Schnitt Φ hat übrigens keinerlei Einfluss auf das Ergebnis der Aufgabe. Jedes Rechteck mit den Seitenlängen a und 1/a, wobei a eine beliebige positive Zahl sein darf, ergibt den gleichen Flächeninhalt der Mondsicheln.

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