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Pythagoras aus Sekanten-Tangentensatz

Treitz-Rätsel

Beweisen Sie bitte den pythagoreischen Satz aus dem Sekanten-Tangentensatz:\[{\overline{AB} \over \overline{AC}} = {\overline{AD} \over \overline{AB}}\] oder auch \(\overline{AC}\cdot\overline{AD}=\overline{AB}^2 \).

(Warum gilt dieser Satz? Die Dreiecke \(ABC\) und \(ADB\) sind ähnlich, denn der Umfangswinkel \(\alpha\) über der Sehne \(BC\) ist gleich dem Sehnentangentenwinkel.)

Legen Sie die Sekante durch den Mittelpunkt des Kreises.

Nach dem Sekanten-Tangentensatz ist hier \(a^2 =(c-b)\cdot(c+b) = c^2-b^2\).

Bei Loomis ist dieser Beweis der 73. der "algebraischen" (d. h. der nicht direkt mit Flächen operierenden), er wird dort auf J. J. I. Hoffmann 1821 zurückgeführt. Bei Bogomolny ist er die Nummer 43.

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  • Quellen
Elisha Loomis: The Pythagorean Proposition. Neuauflage, National Council of Teachers, 1968

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