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Freistetters Formelwelt: Der Beweis als Kunstform

Warum beweisen, was vorher schon bewiesen wurde? Beweise sind mehr als nur Aussagen über den Wahrheitsgehalt mathematischer Sätze. Manchmal enthüllen sie verborgene Strukturen.
Mathematische Formeln

Der ungarische Mathematiker Paul Erdős war einer der wichtigsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Er ist einerseits natürlich für seine mathematischen Leistungen bekannt, andererseits für seine exzessive Kollaboration mit Kollegen und nicht zuletzt wegen seines durchaus exzentrischen Lebenswandels. Erdős lebte für die Mathematik, und in den paar Stunden des Tages, die er nicht schlafend verbrachte, arbeitete er aufgeputscht durch Koffein und Amphetamin an mathematischen Problemen.

Zu seinen unkonventionellen Ideen gehört etwa das »BUCH«, in dem Gott die perfekten Beweise mathematischer Sätze aufbewahrt. Natürlich ging Erdős nicht wirklich davon aus, dass irgendwo ein Gott mit einer mathematischen Bibliothek existiert; er zweifelte die Existenz Gottes an: Trotzdem stellte er sich gerne ein Buch vor, »das die besten Beweise aller mathematischen Sätze enthält, Beweise, die elegant und perfekt sind«. Das war eher scherzhaft gemeint; wenn Erdős aber irgendwo einen mathematischen Satz sah, den er besonders schön fand, bezeichnete er ihn gerne als »straight from The Book«.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

»Das Buch« im Sinne von Erdős existiert nicht, doch es gibt »Proofs from THE BOOK«, ein Werk, das 1998 von den Mathematikern Martin Aigner und Günter Ziegler veröffentlicht wurde. In 45 Kapiteln stellen sie ebenso viele Theoreme vor, und es sollte ein Geschenk zu Erdős' 85. Geburtstag sein – leider starb der Empfänger kurz vor der Veröffentlichung. Dennoch gilt es heute als Sammlung besonders schöner mathematischer Beweise und enthält natürlich auch Arbeiten von Erdős selbst. Zum Beispiel seinen Beweis des bertrandschen Postulats, das man so zusammenfassen kann:

In normaler Sprache formuliert lautet die Aussage: Für jede natürliche Zahl n größer als 1 existiert mindestens eine Primzahl p, die zwischen n und 2n liegt. Der französische Mathematiker Joseph Bertrand hat die Behauptung 1845 aufgestellt, allgemein bewiesen wurden sie 1852 vom Russen Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow. 1919 veröffentlichte der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan einen nur zwei Seiten langen Beweis. Und 1932 publizierte Erdős selbst seinen Beweis, der, wie er in der Einleitung anmerkt, »an Einfachheit nicht hinter dem ramanujanschen Beweis steht«.

Der Beweis als Kunstform

Das wirft die Frage auf, wieso sich Erdős, Ramanujan und die vielen anderen, die das bertrandsche Postulat ebenfalls bewiesen haben, die Mühe überhaupt gemacht haben? Tschebyschow hat die Sache ja schon 1852 erledigt, und ein Beweis ist ein Beweis. Wenn einmal gezeigt worden ist, dass eine mathematische Aussage gültig ist, dann braucht es keine weitere Bestätigung. Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, in der Experimente wiederholt werden müssen. Was korrekt aus den Regeln der Logik und den Axiomen der Mathematik abgeleitet wird, ist eine bewiesene Aussage und für alle Zeiten gültig.

Aber die Mathematik ist eben nicht nur reine Formalität. Ein Beweis dient nicht bloß dazu, die Gültigkeit einer Aussage zu zeigen, sondern auch dazu, neue Gedanken zu inspirieren, neue Verknüpfungen zwischen bis dahin unzusammenhängenden Gebieten zu finden und ganz allgemein tiefer in die abstrakte Welt der Mathematik einzudringen. Deswegen kann es sich durchaus lohnen, unterschiedliche Wege zur Destination auszuprobieren.

So wie es in unserem Alltag durchaus einen Unterschied macht, ob man etwa mit dem Auto über eine langweilige Autobahn zum Ziel fährt oder zu Fuß einen schönen Wanderweg entlangspaziert, kann man in der Mathematik ebenfalls ganz unterschiedliche Entdeckungen machen. Und die allerschönsten Routen sind im BUCH von Paul Erdős niedergeschrieben.

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