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Lexikon der Mathematik: algebraische Gleichung

eine Nullstellengleichung eines Polynoms.

Sei \begin{eqnarray}P(x)=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n}{a}_{k}{x}^{k}\end{eqnarray} ein Polynom über einem Körper 𝕂, (d. h. ak ∈ 𝕂 für k = 0, …, n). Die Gleichung \begin{eqnarray}P(\alpha )=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a}_{k}{\alpha }^{k}=0\end{eqnarray}

heißt dann algebraische Gleichung.

Die Lösungen algebraischer Gleichungen sind die Nullstellen des Ausgangspolynoms und liegen in einer geeigneten algebraischen Körpererweiterung 𝕃 von 𝕂. Sie heißen auch Wurzeln der algebraischen Gleichung.

Im algebraischem Abschluß von 𝕂 liegen die Lösungen aller algebraischen Gleichungen mit Koeffizienten aus 𝕂.

Unter dem Grad der algebraischen Gleichung versteht man den Polynomgrad von P(x). Für algebraische Gleichungen niedrigen Grades sind spezielle Namen gebräuchlich. So nennt man algebraische Gleichungen vom Grad eins, zwei, drei, bzw. vier auch linear, quadratisch, kubisch, bzw. biquadratisch.

Genau für algebraische Gleichungen diesen Grads existieren Lösungsalgorithmen, die die Nullstellen durch eine Abfolge rationaler Operationen und k-tem Wurzelziehen bestimmen (Abel, Satz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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