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Lexikon der Mathematik: Astroide

manchmal auch Sternkurve genannt, Kurve mit der Parametergleichung x = a cos3(τ), y = a sin3(τ),

Aus der Parametergleichung ergibt sich die implizite Kurvengleichung x2/3 + y2/3 = a2/3. Die Astroide ist die Einhüllende der Geradenschar, die ein Stab fester Länge a beschreibt, dessen Enden sich in ℝ2 auf der x-bzw. y-Achse bewegen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Astroide
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Astroide als Einhüllende einer Geradenschar

Für die Krümmungsfunktion κ der Astroide erhält man aus der Parametergleichung den Ausdruck κ (t) = −2 sin(2t)/2a, die Bogenlänge ist im Bereich 0 ≤ tπ/2 durch

\begin{eqnarray}\lambda (t)=3(1-\cos (2t))/2\end{eqnarray}

gegeben. Die von der Astroide eingeschlossene Flache hat den Inhalt A = 3α2π/8 ≈ 1.17181 α2.

Außerdem tritt die Astroide als gemeine Hypozykloide eines Kreises von Radius 1 auf, der innen auf einem Kreis von Radius 4 rollt.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Astroide
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Astroide als spezielle Hypozykloide

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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