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Lexikon der Mathematik: Einhüllende

Enveloppe, Hüllkurve, eine Kurve, die in jedem ihrer Punkte eine Kurve einer gegebenen einparametrigen ebenen Kurvenschar berührt.

Eine andere Definition erklärt die Einhüllende als geometrischen Ort aller Grenzpunkte der Kurvenschar.

Wenn die Kurvenschar durch eine implizite Kurvengleichung F(x, y, a) = 0 gegeben ist, in der a der Scharparameter ist, so erfüllen die Punkte der Einhüllenden das Gleichungssystem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}F(x,y,a)=0,\frac{\partial F(x,y,a)}{\partial a}=0.\end{array}\end{eqnarray}

Dieses Gleichungssystem hat außerdem die singulären Kurvenpunkte als Lösung, d. h., Punktmengen, die in parametrischer Form als Kurven α(a) = (x(a), y(a)) gegeben, die drei Gleichungen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}F(x(a),y(a),a)=0,\\ {F}_{x}(x(a),y(a),a)=0,\mathrm{und}\\ {F}_{y}(x(a),y(a),a)=0\end{array}\end{eqnarray} erfüllen. Sie erfüllen dann auch die Gleichung \begin{eqnarray}{F}_{a}(x(a),y(a),a)=0,\end{eqnarray} was man leicht aus den obigen Gleichungen durch Ableiten von F(x(a), y(a), a) = 0 nach a erhält.

Ein Beispiel: Es sei α(a) = (ξ(a), η(a))) eine beliebige Kurve C in parametrischer Form. Die Gleichung \begin{eqnarray}F(x,y,a)=(x-\xi (a))(y-\eta (a))=0\end{eqnarray} beschreibt die Schar aller sich in den Punkten von C senkrecht schneidenden und zu den Koordinatenachsen parallelen Geradenpaare. Die Lösung des Gleichungssystems (1) für diese Kurvenschar ist dann gerade die Kurve x = ξ(a), y = η(a).

Als weiteres Beispiel betrachte man eine Schar von Kreisen mit festem Radius r, deren Mittelpunkte eine gegebene Kurve x = ξ(a), y = η(a) beschreiben. Diese hat die implizite Gleichung \begin{eqnarray}F(x,y,a)={(x-\xi (a))}^{2}+{(y-\eta (a))}^{2}-{r}^{2}=0.\end{eqnarray}

Dann ergeben die beiden Gleichungen (1) \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}x & = & \frac{-r\eta ^{\prime} (a)}{\sqrt{{(\xi ^{\prime} )}^{2}(a)+{(\eta ^{\prime} )}^{2}(a)}}, & \\ y & = & \frac{r\xi ^{\prime} (a)}{\sqrt{{(\xi ^{\prime} )}^{2}(a)+{(\eta ^{\prime} )}^{2}(a)}}, \end{array}\end{eqnarray} das ist erwartungsgemäß die Parallelkurve von α(t).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Einhüllende
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Einhüllende dieser Kreisschar besteht aus zwei Parallelkurven einer Parabel

Als Einhüllende von Geradenscharen sind z. B. die Astroide und Kaustiken bekannt. Die Evolute einer beliebigen Kurve ist die Einhüllende der Schar ihrer Normalen.

Manche Kurvenscharen besitzen keine Einhüllende, wie zum Beispiel eine Schar konzentrischer Kreise oder eine Schar paralleler Geraden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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