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Lexikon der Mathematik: bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, falls ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Sei (Ω, 𝒜, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B ∈ 𝒜 zwei Ereignisse mit P(B) > 0. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) von A gegeben B definiert durch \begin{eqnarray}P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\end{eqnarray}

Das bei festem B ∈ 𝒜 mit P(B) > 0 durch PB : 𝒜 → [0, 1], PB(A) : = P(A|B), definierte Wahrscheinlichkeitsmaß auf 𝒜 wird bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß oder auch bedingte Wahrscheinlichkeit bezüglich B genannt.

Als Beispiel soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, daß beim Würfeln mit zwei Würfeln die Augensumme größer als neun ist, wenn bekannt ist, daß beide Würfel dieselbe Augenzahl zeigen. Alle möglichen Ergebnisse beim Würfeln mit zwei Würfeln bilden die Menge Ω := {(i, j)|i, j = 1, 2, …, 6}, wobei an erster bzw. zweiter Stelle von (i, j) ∈ Ω die Augenzahl des ersten bzw. zweiten Würfels steht. Ist C ⊂ Ω, so ist die Wahrscheinlichkeit \begin{eqnarray}P(C)=|C|/|\Omega |=|C|/36,\end{eqnarray} wobei |C| die Anzahl der Elemente einer Menge C bezeichnet. Das Ereignis „Augensumme größer als neun“ entspricht der Menge A := {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} und das Ereignis „beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl“ entspricht der Menge B := {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Unter der Bedingung, daß das Wurfergebnis (m, n) in B liegt, ist die Wahrscheinlichkeit, daß (m, n) auch in A liegt, offenbar gleich der Wahrscheinlichkeit, daß aus den Elementen von B zufällig (5, 5) oder (6, 6) ausgewählt wurde, also gleich |AB|/|B| = 1/3. Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist |AB|/|B| = (|AB|/|36|)/(|B|/36) = P(A∩B)/P(B) = P(A|B). Der intuitive Begriff und die mathematische Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit stimmen hier also überein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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