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Lexikon der Mathematik: dyadische Darstellung

Binärdarstellung, Darstellung einer reellen Zahl

\begin{eqnarray}x=\pm {({z}_{k}\ldots {z}_{1}{z}_{0}.{z}_{-1}{z}_{-2}\ldots )}_{2}=\displaystyle \sum _{j}{z}_{j}\cdot {2}^{j}\end{eqnarray}

mit Ziffern zj ∈ {0, 1}, wobei sich die Summation über kj > −∞ erstreckt.

Einige Beispiele: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\\12 & = & {(1100)}_{2}=8+4,\\ 1.365 & = & {(10101010101)}_{2},\\ -2.75 & = & -{(10.11)}_{2},\\ 0.2 & = & {(0.001100110011\ldots )}_{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Jede ganze Zahl besitzt eine eindeutig bestimmte endliche dyadische Darstellung ohne Nachkommastellen; eine reelle Zahl besitzt genau dann eine endliche dyadische Darstellung, wenn sie rational mit einem Nenner der Form 2n ist. Die dyadische Darstellung ist der Spezialfall g = 2 der g-adischen Darstellung einer reellen Zahl. Sie hat den Vorteil, daß zur Darstellung einer Zahl nur die beiden Ziffern 0 und 1 notwendig sind. Deshalb eignet sie sich gut für die Darstellung von Zahlen in mechanischen und vor allem elektronischen Rechenmaschinen; allerdings ist die dyadische Arithmetik nicht die einzige Möglichkeit, Computern das Rechnen beizubringen: es gibt auch Experimente mit der balancierten ternären Darstellung.

Die früheste Beschreibung der dyadischen Darstellung findet sich bei dem gelehrten Bischof Johann Caramuel de Lobkowitz, der die dyadische Arithmetik auf den ersten 96 Seiten seines Buchs „Mathesis biceps“, einem 1670 erschienenen Werk mit mehr als 1700 Seiten in Folio, ausführlich beschreibt. Leibniz beschrieb die dyadische Darstellung in einem Brief an Herzog Rudolph August vom 2. Januar 1697; es gibt auch ein Fragment von Leibniz „De progressione dyadica“ vom 15. März 1679.

Für Caramuel war die Dyadik, wie jedes andere mögliche Zahlsystem, ein Produkt von Verstandeswillkür und Spieltrieb. Leibniz hingegen nahm die Sache viel ernster, für ihn war die Kenntnis der „wahren Zahlen“ ein Mittel zur Erkenntnis der Schöpfung. Er bringt die Dyadik in einer Abhandlung explizit mit der chinesischen Philosophie, insbesondere mit dem I-Ging, in Verbindung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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