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Lexikon der Mathematik: Garbentheorie

Theorie, die eine Konstruktion liefert, welche in Form der Strukturgarbe \(\mathcal{O}\)X einer quasiprojektiven Varietät X alle Ringe \(\mathcal{O}\)(U); UX offen, der regulären Funktionen auf U beschreibt und es erlaubt, diese zu vergleichen.

Dies ist notwendig, um Rückschlüsse auf die Struktur von X ziehen zu können, die Strukturgarbe ersetzt also den im affinen Fall definierten Koordinatenring \(\mathcal{O}\)(X).

Sei X ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe \(\mathcal{F}\) von abelschen Gruppen über X versteht man eine Vorschrift \[\left( i \right)\,U\mapsto \mathcal{F}\left( U \right);\,\left( U\subseteq X;\,\text{offen} \right),\] welche jeder offenen Menge UX eine abelsche Gruppe \(\mathcal{F}\)(U) zuordnet, und welche jedem Paar VU offener Mengen in X einen Gruppenhomomorphismus \[\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right);\left( V\subseteq U\subseteq X\,\text{offen} \right),\] zuordnet. Dabei sollen die folgenden Prägarbenaxiome gelten:

(ii) Es ist

  1. \(\mathcal{F}\left( \oslash \right)=\left\{ 0 \right\},\)
  2. \(\varrho _{U}^{U}=i{{d}_{\mathcal{F}\left( U \right)}}\) ; (UX offen), und
  3. \(\varrho _{W}^{U}=\varrho _{W}^{V}\circ \varrho _{V}^{U}\) ; (WVUX offen).

Ist \(\mathcal{F}\)(U) jeweils ein Ring (oder eine ℂ-Algebra), sind die Abbildungen \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) jeweils Homomorphismen von Ringen (resp. von ℂ-Algebren), und sind die Axiome (ii) erfüllt ({0} wird hier „ausnahmsweise” als Ring betrachtet), so nennt man \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe von Ringen resp. eine Prägarbe von ℂ-Algebren.

Sei \(\mathcal{A}\) eine Prägarbe von Ringen über X. Ist \(\mathcal{F}\)(U) jeweils ein \(\mathcal{A}\)(U)-Modul und \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) jeweils ein Homomorphismus von \(\mathcal{A}\)(U)-Moduln, d.h., gilt \[\begin{array}{*{35}{l}} \varrho _{V}^{U}\left( m+n \right)=\varrho _{V}^{U}\left( m \right)+\varrho _{V}^{U}\left( n \right)\,\text{und} \\ \varrho _{V}^{U}\left( am \right)=\varrho _{V}^{U}\left( a \right)\varrho _{V}^{U}\left( m \right) \\ \end{array}\] für alle m, n ∈ \(\mathcal{F}\) (U) und alle a ∈ \(\mathcal{A}\)(U), so wird die durch U ↦ \(\mathcal{F}\)(U) definierte Zuordnung eine Prägarbe von \(\mathcal{A}\)-Moduln genannt. Im folgenden soll eine Prägarbe immer eine dieser speziellen Typen von Prägarben bezeichnen. Bezüglich der Addition sind alle oben definierten Prägarben in kanonischer Weise Prägarben von abelschen Gruppen.

Eine Prägarbe \(\mathcal{F}\) über X heißt Garbe, wenn sie zusätzlich die sogenannte Verklebungseigenschaft hat, welche besagt:

(iii) Ist UX offen, ist {Ui, i ∈ I} eine offene Überdeckung von U, und ist {mi ∈ \(\mathcal{F}\)(Ui) | iI} eine Familie mit \[\varrho _{{{U}_{i}}\mathop{\cap }^{}{{U}_{j}}}^{{{U}_{i}}}\left( {{m}_{i}} \right)=\varrho _{{{U}_{i}}\mathop{\cap }^{}{{U}_{j}}}^{{{U}_{j}}}\left( {{m}_{j}} \right)\] für i, jI, so gibt es genau ein m ∈ \(\mathcal{F}\) (U) mit der Eigenschaft \(\varrho _{{{U}_{i}}}^{{{U}_{i}}}\left( m \right)={{m}_{i}}\) für alle iI.

Ist \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe, so nennt man die Elemente m von \(\mathcal{F}\)(U) Schnitte von \(\mathcal{F}\) über der offenen Teilmenge UX. Die Homomorphismen \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) nennt man Einschränkungsabbildungen. Ist m ∈ \(\mathcal{F}\)(U) ein Schnitt, so nennt man den Schnitt \(\varrho _{V}^{U}\left( m \right)\in \mathcal{F}\left( V \right)\) entsprechend die Einschränkung des Schnittes m auf die offene Teilmenge VU.

Eine Kollektion {mi, ∈ \(\mathcal{F}\)(Ui) | iI}, (UiX offen) von Schnitten heißt verträglich, wenn \[\begin{matrix} \varrho _{{{U}_{i}}\mathop{\cap }^{}{{U}_{j}}}^{{{U}_{i}}}\left( {{m}_{i}} \right)=\varrho _{{{U}_{i}}\mathop{\cap }^{}{{U}_{j}}}^{{{U}_{j}}}\left( {{m}_{j}} \right), & \left( i,\,j\,\in \,I \right). \\ \end{matrix}\,\]\(\mathcal{F}\) ist also genau dann eine Garbe, wenn sich jede verträgliche Kollektion {mi ∈ \(\mathcal{F}\)(Ui) | iI} von Schnitten in eindeutiger Weise zu einem Schnitt \(m\in \mathcal{F}\left( \underset{i\in I}{\mathop \cup }\,{{U}_{i}} \right)\) verkleben läßt.

[1] Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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