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Lexikon der Mathematik: Kosmologie

Kosmologie ist die „Lehre von der Welt als Ganzes“, ihr Gegenstand ist das Universum. Astronomen und Physiker einerseits, Philosophen und Theologen andererseits haben ihre je eigene Sicht zu diesem Thema. Hier soll vorrangig behandelt werden, welche mathematische Methoden bei der astrophysikalischen Modellierung des Universums eine Rolle spielen; philosophisch-theologische Fragen werden an Ende kurz gestreift.

1. Astrophysikalische Annahmen

Zunächst wird angenommen, daß Eigenschaften der Materie überall und zu jeder Zeit grundsätzlich übereinstimmen. Dies wird z.T. „Kopernikanisches Prinzip“ oder das „Prinzip der Einheit der Natur“ genannt. In der Standardtheorie geht man davon aus, dieses Prinzip so zu interpretieren, daß die lokal gemessenen Werte von grundlegenden Naturkonstanten wie G, ħ und c immer und überall dieselben sind. Für die Beobachtungen bedeutet das, daß rotverschobene Spektrallinien als Dopplerverschiebung zu interpretieren sind, also sich die Quelle der Strahlung von uns wegbewegt. Die weitergehende Interpretation, daß außerdem noch die lokal gemessene mittlere Ruhmassendichte des Universums ortsunabhängig sein soll, führt zum Friedmann-Robertson-Walker-Modell des Universums, das zusammen mit den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie zum Big Bang-Modell führt. Berücksichtigt man noch eine zumindest zeitweise effektiv wirkende kosmologische Konstante, gelangt man zu den Modellen der Inflationären Kosmologie.

Das Friedmann-Robertson-Walker-Modell des Universums hat in synchronisierter Zeit t eine Metrik der Gestalt \begin{eqnarray}d{s}^{2}=d{t}^{2}-{a}^{2}(t)d{\Omega }^{2}.\end{eqnarray}

Dabei ist a(t) der zeitabhängige kosmische Skalenfaktor („Weltradius“), und dΩ2 ist das räumliche Linienelement, das einen 3-Raum konstanter Krümmung darstellt. Man unterscheidet drei Typen: k = 1 entspricht dem geschlossenen Modell mit positiver räumlicher Krümmung, k = −1 entspricht dem offenen Modell mit negativer räumlicher Krümmung, und schließlich das „räumlich ebene“ Modell mit k = 0. Im diesem Fall ist also einfach \begin{eqnarray}d{\Omega }^{2}=d{x}^{2}+d{y}^{2}+d{z}^{2}.\end{eqnarray}

Zur Interpretation der Beobachtungen im Rahmen dieses Modells müssen hier die lichtartigen Geodäten (als Weltlinien der Lichtstrahlen) bestimmt werden.

Vom Urknall spricht man, wenn sich a(t) → 0 schon in endlicher Vergangenheit (also nicht erst bei t → −∞) ergibt. Auch wenn das Urknallmodell strenggenommen lediglich einer Anwendung der Einsteinschen Theorie über ihren Geltungsbereich hinaus entspringt, ist es doch erstaunlich, wie weitreichende Schlußfolgerungen daraus gezogen werden können und eine gute Übereinstimmung mit den Beobachtungsdaten ermöglichen.

Beispiele: a) Das nach dem Urknallmodell berechnete Verhältnis von primordialem Wasserstoff zu Helium stimmt sehr genau mit dem nach Beobachtungen ermittelten Verhältnis überein. (Wir verwenden hier „primordial“ im Sinne von „nicht von stellaren Kernfusionsprozessen beeinflußt“.)

b) Die Temperatur (2,7 Kelvin, deshalb auch 3-Kelvin-Strahlung genannt) und weitgehende Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung stimmen sehr gut mit den Werten des Urknallmodells überein.

Die mittlere Ruhmassendichte des Universums ist relativ leicht nach unten abzuschätzen: Man kennt die Entfernung und Zusammensetzung der leuchtenden Materie (z. B. über die Masse-Leuchtkraft-Beziehung der Sterne) und kann entsprechend aufaddieren. Die Abschätzung nach oben ist mit wesentlich größeren Unsicherheiten behaftet: Es müssen nicht nur große Mengen Schwarzer Löcher ausgeschlossen werden, auch eine massenhafte Ansammlung von nichtleuchtender „normaler“ Materie läßt sich nur schwierig ausschließen; in beiden Fällen gelingt der Nachweis bzw. Ausschluß nur durch indirekte Nachweise über ihre gravitative Wirkung auf selbstleuchtende Objekte.

Die benötigten mathematischen Methoden entstammen vielfach der Differentialgeometrie zur Beschreibung der gekrümmten Raum-Zeit, sowie der Theorie der nichtlinearen partiellen Differential-gleichungen zur Lösung der Einsteinschen Gleichung. Auch numerische Methoden werden eingesetzt, z. B. N-Körper-Simulationsrechnungen zum Studium der Gravitationsdynamik einer großen Anzahl von Massenpunkten, wie dies etwa die Sterne innerhalb einer Galaxis sind.

2. Philosophisch-theologische Fragen

Die naive Vorstellung, daß das Urknallmodell die biblische Schöpfungsgeschichte stützen würde, weil beiden Modellen die Bildung des Universums vor endlicher Vergangenheit gemeinsam ist, wird heute nicht mehr ernsthaft vertreten. Ebensowenig kann man etwa aus dem Kantschen philosophischen Zeitbegriff auf ein unendliches Alter des Weltalls schließen: Der Zeitbegriff ist in jedem der genannten Fachgebiete unterschiedlich aufzufassen, so daß auch verbal gleichlautende Aussagen nicht unbedingt vergleichbar sein müssen. Andere erkenntnistheoretische Prinzipien wie Kausalität, das Kopernikanische Prinzip und die aus der Quantenmechanik stammenden Unschärfen sind heute weitgehend unstrittig.

Aktuell wird allerdings die Rolle des folgenden Prinzips kontrovers diskutiert: Das anthropische kosmologische Prinzip beinhaltet alle diejenigen Aspekte der Kosmologie, in denen die Existenz des Menschen eine Rolle spielt.

Beispiel: Warum leben wir nicht in einem Universum, das nach 3 Minuten Expansion schon wieder rekollabiert? Antwort: Solch ein Modell ist zwar als Lösung der Einsteinschen Feldgleichung im Prinzip genauso möglich wie unser heute beobachtetes Universum, es gäbe darin aber kein intelligentes Wesen, das solche Fragen stellen könnte.

Literatur

[1] Barrow, J.; Tipler, F.: The Anthropic Cosmological Principle. Oxford University Press, 1989.

[2] Rainer, M.; Schmidt, H.-J. (Hg.): Current Topics in Mathematical Cosmology. World Scientific Singapore, 1998.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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