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Lexikon der Mathematik: quadratische Gleichung

eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}{x}^{2}+ax+b=0.\end{eqnarray}

Hierbei sind a und b Elemente eines Körpers, z. B. rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Die Lösungen der Gleichung können formal gegeben werden durch \begin{eqnarray}x_{\pm }=\frac{1}{2}\left(-a\pm \sqrt{{a}^{2}-ab}\right).\end{eqnarray}

Ist a 2−4b = 0, so besitzt die Gleichung eine einzige Lösung, die doppelt zu zählen ist. Ist a 2 − 4b ≠ 0 und ist dieser Ausdruck das Quadrat eines Elementes aus dem betrachteten Körper, so hat die Gleichung zwei Lösungen. Bei den reellen Zahlen ist dies genau für a 2 −4b > 0 der Fall. Ansonsten existiert im vorgelegten Körper keine Lösung. Bei den reellen Zahlen ist dies genau für a 2 − 4b < 0 der Fall. Betrachtet man jedoch Lösungen im algebraischen Abschluß des Körpers (z. B. in ℂ für den Körper ℝ), liegen auch in diesem Fall zwei Lösungen vor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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