geordnetes Tripel (A, B, R), bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Teilmenge des kartesischen Produktes R ⊂ A × B.

Genauer handelt es sich dabei um zweistellige Relationen. Allgemeiner nennt man ein (n + 1)-Tupel (M₁, …, M_n, R), wobei R eine Teilmenge des kartesisehen Produktes der n Mengen M₁, …, M_n ist, eine n-stellige Relation auf den Mengen M₁,…, M_n.

Die Menge R und insbesondere geometrische Veranschaulichungen dieser Menge werden als Graph der Relation bezeichnet. Relationen, deren Graph die leere Menge ist, heißen leere Relationen.

Oftmals ist es klar, um welche Mengen A und B bzw. M₁, …, M_n es sich handelt, und die Menge R wird dann mit der Relation identifiziert.

Im Falle zweistelliger Relationen R ⊆ A × B schreibt man häufig a R b statt (a, b) ∈ R. Auch die Bezeichnung a ~ b : = a R b ist gebräuchlich, sofern es klar ist, um welche Relation R es sich handelt.

Sind A, B, C Mengen und \(R\subseteq A\times B\) und \(S\subseteq B\times C\) Relationen, so ist die Komposition oder Hintereinanderausfiihrung von R und S als folgende durch S o R (lies: S nach R oder S komponiert mit R) bezeichnete Relation auf A × C definiert: \begin{eqnarray}S \circ R:=\{(a,c)\in A\times C:\mathop{\bigvee }\limits_{b\in B}((a,b)\in R\wedge (b,c)\in S)\}.\end{eqnarray} Beispiele:

1. Es sei A = B = C = ℝ. Dann gelten die Beziehungen \begin{eqnarray}\begin{array}{c}[0,1]\times [0,1]\circ [0,1]\times [0,1]=[0,1]\times [0,1],\\ [0,2]\times [0,2]\circ [2,3]\times [1,3]=[0,2]\times [1,3],\\ [0,2]\times [0,2]\circ [2,3]\times [1,3]=\varnothing,\\ \{(x,y):{x}^{2}+{y}^{2}=1\}\circ \{(x,y):y=2x\}\\ =\{(x,y):x\in [-1,1],y=\pm 2\sqrt{1-{x}^{2}}\}.\end{array}\end{eqnarray}

2. Handelt es sich bei den Relationen (A, B, f) und (B, C, g) um Abbildungen, so ist die Relation (A, C, ∘ f) ebenfalls eine Abbildung und mit der Komposition der Abbildungen f A → B und g : B → G identisch.

Die inverse Relation oder Umkehrrelation (B, A, R⁻¹) der Relation (A, B, R) ist definiert durch \begin{eqnarray}{R}^{-1}:=\{(b,a)\in B\times A:(a,b)\in R\}.\end{eqnarray} Man beachte, daß für Abbildungen (A, B, f) die Umkehrrelation im Gegensatz zur Umkehrabbildung immer existiert. Es gibt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Umkehrrelation eine Abbildung ist.

Relationen mit speziellen Eigenschaften

Es sei (A, B, R) eine Relation. R heißt linkstotal genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a\in A}\mathop{\bigvee }\limits_{b\in B}a \sim b,\end{eqnarray} d.h., wenn es zu jedem Element a ∈ A ein Element b ∈ B gibt, welches zu a in Relation steht.

R heißt rechtstotal genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{b\in B}\mathop{\bigvee }\limits_{a\in A}a \sim b,\end{eqnarray} d. h., wenn es zu jedem Element b ∈ B ein Element a ∈ A gibt, welches zu b in Relation steht.

R heißt bitotal genau dann, wenn R linkstotal und rechtstotal ist. R heißt linkseindeutig genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{{a}_{1},{a}_{2}\in A}\,\mathop{\bigwedge }\limits_{b\in B}({a}_{1}\sim b\wedge {a}_{2}\sim b)\Rightarrow {a}_{1}={a}_{2},\end{eqnarray} d.h., wenn die Elemente a₁, a₂ ∈ A gleich sind, sofern sie zum selben Element b ∈ B in Relation stehen.

R heißt rechtseindeutig genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{{b}_{1},{b}_{2}\in B}\mathop{\bigwedge }\limits_{a\in A}(a \sim {b}_{1}\wedge a \sim {b}_{2})\Rightarrow {b}_{1}={b}_{2},\end{eqnarray} d.h., wenn die Elemente b₁, b₂ ∈ B gleich sind, sofern sie zum selben Element a ∈ A in Relation stehen.

R heißt eineindeutig genau dann, wenn R linkseindeutig und rechtseindeutig ist.

Beispiele:

3.(ℝ, ℝ, R) ist für \(R={\mathbb{R}}\times {{\mathbb{R}}}^{+}\) linkstotal, jedoch nicht rechtstotal, und weder linkseindeutig noch rechtseindeutig, für \(R=\{(x,y):|y|\lt 2x\}\) bitotal, jedoch weder links- noch rechtseindeutig, für \(R=\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\}\) eineindeutig, jedoch weder links- noch rechtstotal, für \(R=\{(x,y):y={x}^{2}\}\) eineindeutig und bitotal.

R heißt Abbildung genau dann, wenn R linkstotal und rechtseindeutig ist.

Nun sei A = B, d. h. R ⊆ A × A. R heißt reflexiv genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a\in A}a \sim a,\end{eqnarray} d. h., wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht.

Die Diagonale des kartesischen Produktes A × A ist definiert durch \(\Delta (A):=\{(a,a)\in A\times A:a\in A\}\). Es ist \(\Delta (A)\subseteq R\) genau dann, wenn R reflexiv ist. Beispiele:

4. Die einzige in den Beispielen 1 und 3 auftretende reflexive Relation ist \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},\{(x,y):|y|\lt 2\})\).

R heißt symmetrisch genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a,b\in A}a \sim b\Rightarrow b \sim a,\end{eqnarray} d.h., wenn a genau dann zu b in Relation steht, wenn auch b zu a in Relation steht.

R heißt antisymmetrisch oder identitiv genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a,b\in A}(a \sim b\wedge b \sim a)\Rightarrow a=b,\end{eqnarray} d. h., wenn nur dann sowohl a mit b als auch b mit a in Relation steht, wenn a = b gilt.

R heißt asymmetrisch genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a,b\in A}a \sim b\Rightarrow \neg (b \sim a),\end{eqnarray} d. h., wenn a nur dann zu b in Relation steht, wenn b nicht zu a in Relation steht.

Beispiele:

In Beispiel 3 ist \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):|y|\lt 2\})\) die einzige symmetrische Relation, \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) die einzige asymmetrische Relation, und \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) sowie \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):y={x}^{3}\})\) sind die einzigen antisymmetrischen Relationen.

R heißt transitiv genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a,b\in A}a \sim b\wedge b \sim a,\end{eqnarray} d. h., wenn a und c in Relation stehen, sofern a und b sowie b und c in Relation stehen.

Beispiele:

In Beispiel 3 sind genau die Relationen \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\times {{\mathbb{R}}}^{+})\) und \(({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}\{(x,y):x\lt 0,y={x}^{2}\})\) transitiv.

R heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

R heißt Partialordnung und A partiell geordnete Menge genau dann, wenn R reflexiv und transitiv ist. Ist R eine identitive Partialordnung, so heißt R Ordnungsrelation.

R heißt linear oder konnex genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{a,b\in A}a \sim b\vee b \sim a,\end{eqnarray} d. h., es steht immer a mit b oder b mit a in Relation.