die parabolische Differentialgleichung \begin{eqnarray}{u}_{tt}-{c}^{2}{u}_{xx}=f(x,t)\end{eqnarray}

mit c ≠ 0. Ihre allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einer partikulären Lösung u_p und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung u_tt = c²u_xx. Mit der Variablensubstitution u = x − ct und z = x + ct erhält man die Funktion U(u, z) = u(x, t). Eine partikuläre Lösung findet man dann durch \begin{eqnarray}u(x,t)=U(u,z)=-\displaystyle \iint \frac{1}{4{c}^{2}}F(u,z)\,du\,dz\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}F(u,z)=f\left(\frac{u+z}{2},\frac{u-z}{-2c}\right).\end{eqnarray}

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet dagegen u_h(x, t) = g(x − ct) + h(x + ct) mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen g und h in einer Variablen.

Neben dem bisher beschriebenen Fall einer Raumvariablen betrachtet man auch in Verallgemeinerung von (1) die mehrdimensionale Wellengleichung, die gegeben ist durch \begin{eqnarray}{u}_{tt}-{c}^{2}\Delta u=f(x,t),\end{eqnarray}

wobei jetzt x = (x₁,…,x_n) ein Vektor von n Variablen ist, und. den Laplace-Operator, angewandt auf die Variablen x₁,…,x_n, bezeichnet.

[1] Hellwig, G.: Partial Differential Equations. Teubner-Verlag Stuttgart, 1977.
[2] John, F.: Partial Differential Equations. Springer-Verlag Heidelberg, 1978.
[3] Wloka, J.: Partielle Differentialgleichungen. Teubner-Verlag Stuttgart, 1982.