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Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik


Woher kommt die Mathematik, und wie hat sie sich entwickelt? Das ist das Thema der französischen Mathematikhistorikerinnen Jeanne Peiffer und Amy Dahan-Dalmedico. Aus der großen Fülle des Materials seien einige allgemein zugängliche Partien herausgegriffen. Im Mittleren Reich, der klassischen Epoche Alt-Ägyptens zwischen 2040 und 1785 vor Christus, konnte man Identitäten wie ausrechnen. Um 1700 vor Christus notierte ein babylonischer Schreiber auf einer Keilschrifttafel ein gutes Dutzend Zahlentripel wie a=6480, b=4961 und c=8161, für die gilt. Viele Keilschrifttafeln aus der gleichen Zeit enthalten Lösungen von quadratischen Gleichungen. Was uns sowohl aus Ägypten wie aus Babylon fehlt, sind die Begründungen oder theoretischen Überlegungen, ohne die man Zahlenbeispiele der angegebenen Art nicht finden kann. Durch Hunderte von Keilschrifttafeln sind wir über die Mathematik in Babylon sehr viel besser informiert als über die entsprechende Situation in Ägypten, wo nur wenige Papyri mit mathematischem Inhalt erhalten geblieben sind. In Sumer/Babylon finden sich Zahlen und Maßsysteme schon vor 3000 vor Christus. In der sumerischen Epoche, bis 2000 vor Christus, wurden diese Systeme – insbesondere das auf unseren Uhren noch heute gebräuchliche Sexagesimalsystem – weiterentwickelt. Probleme der Feldmessung und das Dividieren waren den Sumerern geläufig. Die Babylonier bauten diesen Kenntnisstand wesentlich aus, wie die obigen Beispiele zeigen. Bisher erweckten alle Dokumente babylonischer Mathematik den Eindruck starrer, ganz schematischer Verfahren. Erst die neuesten Entdeckungen des schwedischen Mathematikhistorikers Jö-ran Friberg stellen dies in Frage: Es scheint tatsächlich schon in Alt-Babylon wohlstrukturierte sogenannte Themen-Texte gegeben zu haben, die man als eine erste Stufe begründender oder deduktiver Mathematik ansehen kann (vergleiche Fribergs Artikel in Spektrum der Wissenschaft, April 1984, Seite 116). In jeder Ausgrabungskampagne werden neue Keilschrifttafeln gefunden, und man darf in diesem Bereich der Mathematikgeschichte durchaus noch auf einige Überraschungen gefaßt sein. Anders steht es mit der klassischen Zeit Griechenlands, die in der Mathematikgeschichte durch die Namen Pythagoras (um 500 vor Christus) und Euklid (um 300 vor Christus) abgegrenzt wird. Sämtliche erhaltenen Texte liegen in guten Ausgaben und Übersetzungen vor. Es ist äußerst unwahrscheinlich, daß etwa in einem Kloster im Iran noch ein unbekanntes Manuskript aus der klassischen Antike in persischer oder arabischer Übersetzung verborgen wäre. In den "Elementen" des Euklid tritt uns die Mathematik mit allen ihren heute noch gültigen Charakteristika entgegen. Manche Mathematiker sprechen geradezu von "unseren Kollegen aus Athen", auf die sein Sammelwerk zurückgeht. Euklid formulierte die mathematischen Aussagen mit Voraussetzungen, Behauptungen und Beweisen und fügte sie zu vollständigen Theorien zusammen. Am Anfang des Werkes stehen explizit formulierte Axiome und Definitionen als Grundlagen des weiteren Aufbaus. In Notizen aus der Schule des Aristoteles ist vermerkt, daß die ersten "Elemente" der Mathematik schon um 440 vor Christus von einem gewissen Hippokrates aus Chios (nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Arzt aus Kos) geschrieben wurden. Etwa gleichzeitig gab es vermutlich auch in den Kreisen der Pythagoreer in Unteritalien eine Schrift über Mathematik. Von diesen alten Werken sind nur geringfügige Reste erhalten. Etwas mehr wissen wir aus den Werken der Philosophen Platon (427 bis 348) und Aristoteles (384 bis 322). Insbesondere Platons Hochschätzung der Mathematik hat über die Jahrhunderte bis hin zu den Lehrplänen der humanistischen Gymnasien in Preußen gewirkt. Die Griechen selbst sagten, sie hätten die Arithmetik von den handeltreibenden Phöniziern und die Geometrie von den Ägyptern gelernt, deren Kenntnis der Feldmeßkunst sich wegen der regelmäßigen Nilüberschwemmungen entwickelt habe. Das klingt plausibel, aber es fehlen jegliche Belege dafür. Dagegen meint man bei Euklid die babylonische Tradition an einigen Stellen mit Händen greifen zu können. Aber darüber schwiegen die Griechen, und es liegen immerhin etwa 1200 Jahre zwischen der Niederschrift babylonischer Quellen und Pythagoras. Ein unter Mathematikhistorikern in dieser Hinsicht heiß diskutiertes Thema sind Probleme, die man heute als quadratische Gleichungen schreiben würde. Bei Euklid stehen die beiden erforderlichen Ingredienzien für ihre Lösung in geometrischer Form: die binomische Formel , mit der man die quadratische Ergänzung findet, und eine Konstruktion für die Quadratwurzel einer Größe. Das Verfahren paßt genau zu den babylonischen Beispielen. Nur – wie kamen die Kenntnisse aus Babylon nach Griechenland? Das ist umstritten. Es ist nur angemessen, wenn ein Buch wie das vorliegende den größten Teil des Inhalts der Neuzeit ab etwa 1500 widmet. Allerdings verläßt nun die Mathematik auch den in unserem Sinne elementaren Bereich. Ein spezielles, aber bedeutendes Thema sei herausgegriffen. Wir sprechen heute ohne größere gedankliche Schwierigkeiten von der komplexen Ebene und identifizieren deren Punkte mit den sogenannten komplexen Zahlen. Wir schreiben eine solche Zahl in der Form a+bi mit reellen Zahlen a und b und benutzen i als Abkürzung für die imaginäre Einheit . Schon die negativen Zahlen, um deren Wurzeln es hier geht, haben sich nur in einem langwierigen Prozeß ab etwa 1200 in der Mathematik eingebürgert. Aber jeder wußte, daß auch das Produkt negativer Zahlen positiv ist. Wurzeln aus negativen Zahlen konnte es mithin nicht geben. Noch in Robert Musils (1880 bis 1942) Roman "Die Verwirrungen des Zöglings Törleß" zerbricht sich dieser den Kopf über die Absurdität der Wurzeln aus negativen Zahlen. Durch die Einführung imaginärer Größen haben die Mathematiker Unmögliches eben doch möglich gemacht; und das ist nur das spektakulärste Beispiel für viele solcher Prozesse. Wie so viele andere großartige kulturelle Leistungen verdanken wir auch die komplexen Zahlen der italienischen Renaissance. Es war Girolamo Cardano (1501 bis 1576), der in seiner "Ars magna" von 1545 erstmals mit komplexen Zahlen rechnete (siehe "Anschauung und Formalismus in der Mathematik" von Klaus Volkert, Spektrum der Wissenschaft, März 1992, Seite 72). Cardano hatte zwar schon eine gegenüber den früheren rein verbalen Umschreibungen erheblich abgekürzte Schreibweise (Seite 104), aber doch noch nicht unseren heutigen flexiblen algebraischen Formalismus. Die Buchstabenrechnung im heutigen Sinne hat 1571 der Franzose François Viète (1540 bis 1603) begründet. Insbesondere erkannte er, daß Ausdrücke der Form (x-a)(x-b)=0 oder (x-a)(x-b)(x-c)=0 auf quadratische beziehungsweise kubische Gleichungen führen, und entsprechend für mehr Faktoren. Liegt ein Polynom erst in dieser faktorisierten Form vor, sind seine Nullstellen (nämlich a und b beziehungsweise a, b und c) mühelos ablesbar, und man wußte inzwischen auch, daß man auch komplexe Nullstellen zulassen mußte. Hier kam es nun zu einem für die Mathematikgeschichte ganz wesentlichem Schritt: Man glaubte einfach, daß jedes Polynom n-ten Grades (bei richtiger Zählung) im Bereich der komplexen Zahlen genau n Nullstellen habe. Das Vertrauen in diesen Fundamentalsatz der Algebra und dessen Nutzen war so stark, daß man sich dabei über alle Bedenken wegen der Existenz komplexer Zahlen hinwegsetzte. Auch ein so kritischer Philosoph wie René Descartes (1596 bis 1650) hatte in dieser Hinsicht keine Bedenken (Seite 271). Von Descartes stammt auch die Bezeichnung "imaginär" ("eingebildet") für die Wurzeln aus negativen Zahlen. Gleichwohl blieben komplexe Zahlen weiterhin suspekt. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716) nannte sie um 1700 "eine Art Amphibien zwischen Sein und Nichtsein". Auch daß Leonhard Euler (1707 bis 1783) ausgiebig mit ihnen rechnete, half zunächst nichts. Erst um 1800 vollzog sich eine entscheidende Wende. Zunächst schlugen verschiedene, eher dem Rand der Szene zuzurechnende Gelehrte die geometrische Deutung in der Ebene vor, stießen aber trotz Publikation auf Unverständnis – eine Situation, die aus heutiger Sicht kaum nachzuvollziehen ist. Erst die Autorität von Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) half der geometrischen Sicht zum Durchbruch. Damit war das Existenzproblem für die komplexen Zahlen gelöst. Die beiden Autorinnen verfolgen die Mathematikgeschichte bis etwa 1900. Schon im 19. Jahrhundert wurde die Mathematik aber so kompliziert, daß auch zum Verständnis der historischen Entwicklung speziellere Fachkenntnisse unerläßlich sind. Durch ein Überblickskapitel am Anfang haben die Autorinnen etwas Abhilfe geschaffen, so daß man auch ohne ein Mathematikstudium einen ersten guten Eindruck erhalten kann. Zwei Drittel des Buches wird man jedoch nur dann mit Gewinn lesen können, wenn man sich durch Studium oder Beruf intensiv mit der Mathematik beschäftigt hat. Dann allerdings erhält man nicht nur einen Einblick in die geschichtliche Entwicklung, sondern auch in den Gesamtzusammenhang der Mathematik aus heutiger Sicht. Nützlich sind die gute Gliederung und zur raschen Information über die Personen des Dramas auch das Register mit Kurzlebensläufen. Viele gute Skizzen und Bilder berühmter Mathematiker beleben das Buch.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 4 / 1995, Seite 115
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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