Zeichnen Sie die Quadrate auf kariertes Papier.

Aus den Zeichnungen kann man durch Verallgemeinerung der Zahlenbeispiele leicht einsehen (mit "Seiten" und "Flächen" sind hier stets die zugehörigen (ganzzahligen) Maßzahlen gemeint):

• Die Differenz zweier Quadratflächen ist genau dann ungerade, wenn es die Differenz der Seiten ist.
• Jede ungerade Zahl kann als Differenz der Quadrate zweier um 1 verschiedener ganzer Zahlen dargestellt werden.
• Die Differenz der Flächen zweier Quadrate ist stets durch die Differenz der zugehörigen Quadratseiten ohne Rest teilbar.

Daraus folgt, dass es für jede Primzahl \(p\) (außer 2) genau ein Paar um 1 verschiedener natürlicher Zahlen gibt, deren Differenz ihrer Quadrate dieser Primzahl gleich ist, nämlich \((p+1)/2\) und \((p-1)/2\). Ein anderes Paar kann es nicht geben, denn dann wäre \(p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), also das Produkt der beiden Faktoren \(a+b\) und \(a-b\). Das geht bei Primzahlen aber nur, wenn einer der Faktoren gleich 1 ist.