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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Stern?

Kreuz, Süden, Namibia

Im Inneren eines regelmäßigen Sechsecks der Seitenlänge 2 liegen sechs Halbkreise vom Radius 1. Ihre Durchmesser fallen mit den Seiten des Sechsecks zusammen. Wie groß ist die sternförmige orange Fläche?

Das regelmäßige Sechseck setzt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge 2 zusammen und hat darum die Fläche S = 6 ∙ ¼√3 ∙ 22 = 6√3. Die Überlappungen der sechs Halbkreise sind sechs linsenförmige Flächen, die zusammen den Inhalt L haben. Somit hat die orange Fläche die Größe G = S – (6 ∙ ½π ∙ 12L) = S – 3π + L = 6√3 – 3π + L. Ein Kreis, der den gleichen Radius hat wie die Halbkreise, und dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Sechsecks zusammenfällt, bildet mit den Halbkreisen die gleichen sechs Linsen. Der Kreis hat die Fläche π ∙ 12 = G + L, was sich zu L = π – G umformen lässt. Setzt man dies in die zuvor gefundene Gleichung ein, erhält man G = 6√3 – 3π + π – G oder G = 3√3 – π ≈ 2,055.

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