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Freistetters Formelwelt: Der große Teilchen-Clash

Etwas zu transportieren, kann kompliziert sein. Ganz besonders dann, wenn es nicht um Menschen oder Waren geht, sondern um zusammenstoßende Teilchen in einem Gas. In solchen Fällen muss man wirklich komplexe Mathematik auspacken.
Teilchenchaos
Zusammenstoßende Teilchen in einem Gas sind wirklich schwer zu beschreiben.

In der Naturwissenschaft ist es oft so, dass die Probleme umso schwerer werden, je mehr Dinge beteiligt sind. Die Bewegung von zwei Himmelskörpern unter ihrem gegenseitigen gravitativen Einfluss kann man exakt berechnen; bei drei Objekten ist das aber schon unmöglich – und wenn die Zahl zu groß wird, stößt man auch bei Näherungsmethoden oft an die Grenzen des technisch Machbaren. Irgendwann können selbst die besten Computer die Berechnung nicht mehr in einer vernünftigen Zeit bewältigen. Es gibt aber auch Ausnahmen, zum Beispiel, wenn man es mit Teilchen in einem Gas zu tun hat.

Will man wissen, wie sich diese verteilen, muss man berechnen können, wie oft sie zusammenstoßen. Hat man sehr viele Teilchen in einem bestimmten Volumen, dann kollidieren sie bereits nach einer kurzen Strecke mit anderen. Wird diese durchschnittliche Strecke immer kleiner, macht es irgendwann keinen Sinn mehr, die Stöße zwischen jeweils zwei Teilchen zu betrachten, sondern es ist einfacher, die gesamte Gasmenge als strömendes Kontinuum zu beschreiben. Dafür gibt es entsprechende Gleichungen, die man zwar auch nicht unbedingt als »einfach« bezeichnen kann, die aber doch weniger komplex sind als folgende Formel:

Das ist eine Art, die »Boltzmannsche Transportgleichung« aufzuschreiben. Man verwendet sie, um die Verteilungsdichte f von Teilchen in einem Medium zu berechnen. Sie gilt aber nur für den Fall, dass die Teilchen mehr Zeit damit verbringen, sich durch die Gegend zu bewegen als miteinander zu kollidieren. Das kann wichtige Anwendungsfälle umfassen. Während wir die Luft in der bodennahen Atmosphäre als strömendes Kontinuum beschreiben können, gilt das nicht für die äußeren Schichten, auf die zum Beispiel ein Raumfahrzeug beim Wiedereintritt trifft. Hier braucht man die Boltzmann-Gleichung, um das Verhalten der Atmosphäre vernünftig zu beschreiben.

Ein verstecktes Integral

Die Formel ist auch aus mathematischer Sicht bemerkenswert. Auf der linken Seite der Gleichung findet man die totale zeitliche Veränderung der Verteilungsfunktion f, die von Ort und Geschwindigkeit der jeweiligen Teilchen abhängt (und von der Zeit). Der unscheinbare Ausdruck rechts des Gleichheitszeichens trägt die Bezeichnung »Kollisionsintegral« (oder »Stoßterm«) und beschreibt den Anteil, den die Zusammenstöße der Teilchen auf die Verteilungsfunktion haben. Auch wenn es in dieser Form der Darstellung nicht direkt ersichtlich ist, handelt es sich tatsächlich um ein Integral. Das heißt, um die rechte Seite der Gleichung auszuwerten, muss integriert werden.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Die Boltzmann-Gleichung ist daher ein Beispiel für eine so genannte Integro-Differentialgleichung, also eine Gleichung, in der die zu berechnende Funktion nicht nur als Ableitung auftaucht, sondern auch als Integrand eines Integrals. Solche Gleichungen findet man oft bei technischen Anwendungen (etwa dem Design von Stromkreisen), aber auch in der Epidemiologie bei der Beschreibung der Ausbreitung von Infektionskrankheiten.

Diese Gleichungen zu lösen, ist naturgemäß nicht einfach, weshalb man oft auf numerische Methoden zurückgreifen muss. Im Fall der Boltzmann-Gleichung kann man dafür zum Beispiel »Lattice-Boltzmann-Methoden« verwenden, bei denen Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens anhand eines Gitters diskretisiert werden.

Man könnte meinen, das Problem würde umso einfacher, je weniger Teilchen beteiligt sind, denn damit ist weniger Potenzial für Kollisionen vorhanden. Das ist prinzipiell richtig, zumindest so lange, bis man sich voll und ganz auf einzelne Teilchen konzentriert. Dann hat man es nämlich mit den Unbestimmtheiten der Quantenmechanik zu tun und muss sich mit ganz neuen Problemen auseinandersetzen.

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