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Freistetters Formelwelt: Mehr als bloße Rechnerei

Um eine Sprache zu beherrschen, muss man mehr kennen als die Vokabeln. Ebenso reicht es in der Mathematik nicht, einfach nur einen Haufen Formeln auswendig zu lernen.
Ein Junge rechnet mit den Fingern
Mathematik geht weiter über das bloße Rechnen hinaus.

Fragt man eine beliebige Person, ob sie eine mathematische Formel kennt, dann stehen die Chancen gut, dass die Antwort E = mc2 lautet. Sollte die Antwort hingegen nicht aus Albert Einsteins ikonischer Gleichung für die Äquivalenz von Masse und Energie bestehen, wird man wahrscheinlich den Klassiker a2 + b2 = c2 zu hören bekommen.

Dieser »Satz des Pythagoras« ist eines der Fundamente der Geometrie. Er ist nach dem antiken Gelehrten Pythagoras von Samos benannt, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte. Doch tatsächlich war der Zusammenhang bereits viel länger bekannt (man findet entsprechende Beziehungen schon auf fast 4000 Jahre alten Keilschrifttafeln der Babylonier). Eine andere Gleichung ähnelt dem Satz des Pythagoras nicht nur in seiner Form:

Sie wird auch »trigonometrischer Pythagoras« genannt und hat mir während meiner Schulzeit große Schwierigkeiten bereitet. Zur Vorbereitung für die Mathematik-Matura (wie das Abitur in Österreich genannt wird) sollten wir die Ableitung einer eigentlich sehr einfachen Funktion durchführen. Doch niemand in der ganzen Klasse war in der Lage, das Ergebnis korrekt darzustellen – bis auf einen Mitschüler, der kurz davor aus einer anderen Schule zu uns gekommen war. Im Gegensatz zu uns wusste er über den trigonometrischen Pythagoras Bescheid und konnte damit das Ergebnis entsprechend umformen und vereinfachen.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Leider war mein Mathematikunterricht damals vergleichsweise schlecht. Mit Sicherheit war ich auch kein herausragender Schüler; was das Fach wirklich ausmacht, habe ich erst auf der Universität (und dank meiner schlechten Vorbildung mit viel Mühe) gelernt. Ich war es gewohnt, einfach nur einen Haufen Regeln zu lernen und damit die gestellten Aufgaben zu lösen. Dass man mit all diesen Formeln und Definitionen auch kreativ umgehen und zu neuen Resultaten kommen kann, war mir nicht bewusst.

Mit meinem heutigen Wissen ist es kein großer Aufwand, die obige trigonometrische Formel in kaum zwei Rechenschritten aus dem Satz des Pythagoras abzuleiten. Damals wäre ich nicht mal auf die Idee gekommen, so etwas zu versuchen. Mathematik funktioniert in dieser Hinsicht ein wenig wie eine Sprache: Lernt man etwa ein französisches Wörterbuch auswendig, wird man sich vermutlich rudimentär verständigen können. Aber man kann wahrscheinlich niemanden davon überzeugen, dass man die Sprache tatsächlich beherrscht. Dazu muss man auch die Grammatik kennen, die Beziehungen zwischen den Wörtern und all die geschriebenen und ungeschriebenen Gesetze, die besagen, wie man kreativ mit der Sprache umgehen kann. In der Mathematik ist es genauso: Formeln und Definitionen sind das eine. Wenn man allerdings nicht in der Lage ist, sie kreativ aufeinander zu beziehen und aus dem bestehenden Wissen neue Erkenntnisse abzuleiten, dann ist man bestenfalls gut im Rechnen – hat aber nicht verstanden, zu was Mathematik tatsächlich in der Lage ist.

Eine Formel, die fürs Ausrechnen nutzlos ist

Dieser Aspekt des Fachs zeigt sich ebenfalls an einer weiteren Besonderheit des trigonometrischen Pythagoras. Wer daran gewohnt ist, dass eine Formel einfach nur dazu da ist, ein Ergebnis auszurechnen, wird sich vielleicht fragen, wie man denn damit den Wert für α bestimmen kann. Die Antwort lautet: gar nicht, denn es handelt sich dabei nicht um einen zu berechnenden Wert. Die Formel ist eine so genannte Identität: Es ist unmöglich, ein konkretes α zu berechnen, weil es für alle Werte innerhalb des Definitionsbereichs gilt. In diesem Fall kann man irgendeine reelle Zahl in die Gleichung einsetzen und das Ergebnis wird immer gleich 1 sein.

Mathematische Identitätsgleichungen dieser Art sind dazu da, die Gleichheit von Ausdrücken oder Funktionen zu beschreiben. Damit kann man nicht den Wert einer unbekannten Variable berechnen. Denn Mathematik ist so viel mehr als nur Rechnerei – und ich bin froh, das letztlich doch noch gelernt zu haben.

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