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Lexikon der Mathematik: freie Variable

Individuenvariable (elementare Sprache), die in einem logischen Ausdruck frei vorkommt.

Das freie Vorkommen einer Variablen in einem Ausdruck kann wie folgt induktiv über den Aufbau der Ausdrücke definiert werden: Sei L eine elementare Sprache, x eine Individuenvariable und φ ein Ausdruck in L. x kommt in φ frei vor genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  1. φ ist ein Atomarer Ausdruck und x kommt in φ vor.
  2. φ besitzt die Gestalt ¬ψ und x kommt in ψ frei vor.
  3. φ ist einer der Ausdrücke ψχ, ψχ, ψχ, ψχ, und x kommt in ψ oder in χ frei vor.
  4. φ besitzt die Gestalt ∃ oder ∀ und x kommt in ψ frei vor, und x, y sind verschiedene Variablen.

In einem Ausdruck der Gestalt ∃ bzw. ∀ ist ψ der Wirkungsbereich des Quantors ∃ bzw. ∀ bzgl. x. Eine Variable x kommt in dem Ausdruck φ gebunden vor genau dann, wenn x in φ vorkommt und x unmittelbar nach ∃ oder ∀ folgt, oder im Wirkungsbereich eines der Quantoren bzgl. x steht. x heißt dann auch gebundene Variable.

Eine Variable kann in einem Ausdruck sowohl frei als auch gebunden auftreten. Wir betrachten als Beispiel den Ausdruck \begin{eqnarray}\varphi :=\forall z(\exists x(x+y\lt z)\to \forall y(y+1\lt x))\end{eqnarray} mit ψ := x + y < z und χ : = y + 1 < x. In ψ bzw. χ kommen x, y, z bzw. x, y frei vor. In ∃ kommen y, z frei und x gebunden vor und in ∀ kommt x frei und y gebunden vor. Schließlich kommen x, y in φ frei und gebunden vor, und z kommt in φ nur gebunden vor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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